四川省资阳市高中数学高一升高二复习讲义 第4讲 基本不等式 新人教A版VIP免费

四川省资阳市高中数学高一升高二复习讲义第4讲基本不等式新人教A版一、复习旧知1、知识点1.基本形式2求最值3.拓展2、作业评讲二、新课讲解重点：理解基本不等式等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.难点：利用基本不等式求最大值、最小值考点：利用基本不等式求最值(或取值范围)利用基本不等式证明基本不等式在实际中的应用易混点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值【分类教学】★知识梳理★1.基本形式:,abR,则222abab;0,0ab,则2abab,当且仅当ab时等号成立.2求最值:当ab为定值时,22,abab有最小值;当ab或22ab为定值时,ab有最大值(0,0ab).3.拓展：若0,0ab时,2221122abababab,当且仅当ab时等号成立.★重难点突破★1.重点：理解基本不等式等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.2.难点：利用基本不等式求最大值、最小值3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值(1)灵活运用基本不等式处理不等关系问题1.已知正数x、y满足x+2y=1，求+的最小值.1点拨： x、y为正数，且x+2y=1，∴+=（x+2y）（+）=3++≥3+2，当且仅当=，即当x=－1，y=1－时等号成立.∴+的最小值为3+2.（2）注意取等号的条件问题2.已知两正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值为。点拨：错解1、因为对a>0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。错解2、，所以z的最小值是。错因分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的条件是，与相矛盾。解析：z===，令t=xy,则，由在上单调递减,故当t=时有最小值,所以当时z有最小值。三、【典型例题】考点1利用基本不等式求最值(或取值范围)题型1.当积为定值时,求和最小值2例1.已知0,0xy且满足281xy,求xy的最小值.【解题思路】利用，构造均值不等式解析： 2828()1()()28yxxyxyxyxyxy,0,0xy,∴280,0yxxy1021618xy,当且仅当28yxxy时等号成立,即224yx,∴2yx,又281xy,∴6,12xy∴当6,12xy时,xy有最小值18.【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．题型2.当和为定值时,求积最大值例2.已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现.应将lgx+lgy转化成lgxy考虑．解析 x>0，y>0，3x+4y=12，∴≤，∴lgx+lgy=lgxy≤lg3．由解得∴当x=2，y=时，lgx+lgy取得最大值lg3．【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一．题型3.灵活运用基本不等式求取值范围例3.若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______．【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解．3解法一由a、b∈R+，由重要不等式得a+b≥2，则ab=a+b+3≥2+3，即≥≥≥3，∴ab≥9．解法二a、b为正数，∴ab=a+b+3≥>0，两边立方得a3b3≥34aba2b2≥34， ab>0，∴ab≥9．解法三原条件式变为ab-3=a+b，① a、b均为正数，故①式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a2+b2≥2ab，∴a2b2-6ab+9≥4ab，即a2b2-10ab+9≥0，(ab-1)(ab-9)≥0，由①式可知ab>3，∴ab≥9．解法四把a、b∈R+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则△=(3-ab)2-4ab≥0，即(ab)2-10ab+9≥0，∴(ab-9)(ab-1)≥0， ab-1=a+b+2>0成立，∴ab≥9．解法五由已知得a(b-1)=b+3，显然a>1，∴，≥，即ab≥9．【名师指引】本题用了转化思想（等式转化为不等式）、方程思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法．【新题导练】1.若1x，则x=_____时,11xx有最小值，最小值为_____.解析: 1x,∴01x,∴011x,∴11xx=1111xx12(1)11xx211，当且仅当111xx即0x时1)11(minxx.42..(2008·华附)已知,*41xyRxy,且,则11xy的最小值为解析: 9454411*,,...