2.2.2-1等差数列的前n项和(一)1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a9＝15，则S11的值为()．A.B．50C．55D．110解析由等差数列性质得a2＋a7＋a9＝3a6＝15，∴a6＝5，S11＝11a6＝55.故选C.答案C2．设数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则a8的值为()．A．15B．16C．49D．64解析a8＝S8－S7＝82－72＝15.答案A3．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则数列{an}的前10项的和S10＝()．A．138B．135C．95D．23解析a2＋a4＝2a3＝4，∴a3＝2，a3＋a5＝2a4＝10，∴a4＝5，∴d＝3，a1＝－4，∴S10＝10a1＋×d＝95.答案C4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为.解析由a4＝a1＋3d＝1，S5＝5a1＋10d＝10，得a1＝4，d＝－1，Sn＝4n－＝，∴n＝4或5时，Sn最大．答案4或55．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.解析6S5－5S3＝5⇒6－5＝5⇒3a1＋9d＝1⇒a1＋3d＝⇒a4＝.答案6．在等差数列{an}中，(1)已知a4＝10，a10＝－2，且Sn＝60，求n.(2)已知a1＝－7，an＋1＝an＋2，求S17.(3)若a2＋a7＋a12＝24，求S13.解(1)设{an}的首项为a1，公差为d，由a4＝10，a10＝－2，得∴∴Sn＝n×16＋×(－2)＝60.整理可得：n2－17n＋60＝0，∴n＝5或n＝12.(2)由a1＝－7，an＋1＝an＋2，得an＋1－an＝2，则a1，a2…，，a17是以－7为首项，公差为2的等差数列，∴S17＝17×(－7)＋×2＝153.(3)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7，又∵a2＋a7＋a12＝3a7＝24，∴a7＝8，∴S13＝×13＝13×8＝104.7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()．A．6B．7C．8D．9解析法一∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，即a5＝－3，d＝＝＝2，∴{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和是Sn的最小值．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n＝6时，Sn最小，故选A.法二由方法一知d＝2，又a1＝－11，∴Sn＝na1＋d＝n2－12n＝(n－6)2－36，∴当n＝6时，Sn取最小值，故选A.答案A8．在等差数列{an}中，an<0，a32＋a82＋2a3·a8＝9，那么S10等于()．A．－9B．－11C．－13D．－15解析∵(a3＋a8)2＝9，an<0，∴a3＋a8＝－3.∴S10＝＝＝－15.答案D9．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为.解析∵{an}，{bn}为等差数列，∴＋＝＋＝＝.∵＝＝＝＝，∴＝.答案10．设{an}是公差为－2的等差数列，如果a1＋a4…＋＋a97＝50，那么a3＋a6…＋＋a99＝.解析∵a3＋a6…＋＋a99，a1＋a4…＋＋a97分别是33项之和，∴(a3＋a6…＋＋a99)－(a1＋a4…＋＋a97)＝(a3－a1)＋(a6－a4)…＋＋(a99－a97)＝2d＋2d…＋＋2d＝33×2d＝33×(－4)＝－132，∴a3＋a6…＋＋a99＝－132＋50＝－82.答案－8211．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.(1)设Sk＝2550，求a和k的值；(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11…＋＋b4n－1的值．解(1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，又a1＋a3＝2a2，∴(a－1)＋2a＝8，即a＝3，∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.由Sk＝ka1＋d，得2k＋×2＝2550，即k2＋k－2550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)，∴a＝3，k＝50.(2)由Sn＝na1＋d，得Sn＝2n＋×2＝n2＋n，∴bn＝＝n＋1，∴{bn}是等差数列，则b3＋b7＋b11…＋＋b4n－1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)…＋＋(4n－1＋1)＝，∴b3＋b7＋b11…＋＋b4n－1＝2n2＋2n.12．(创新拓展)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项an；(2)若数列{bn}满足bn＝，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解(1)由等差数列的性质得，a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3、a4是关于x的方程x2－22x＋117＝0的解，又公差大于零，所以a3＝9，a4＝13.易知a1＝1，d＝4，故通项为an＝1＋4(n－1)＝4n－3.(2)由(1)知Sn＝＝2n2－n，所以bn＝＝.法一所以b1＝，b2＝，b3＝(c≠0)．令2b2＝b1＋b3，解得c＝－.当c＝－时，bn＝＝2n，当n≥2时，bn－bn－1＝2.故当c＝－时，数列{bn}为等差数列．法二当n≥2时，bn－bn－1＝－＝，欲使{bn}为等差数列，只需4c－2＝2(2c－1)且－3c＝2c(c－1)(c≠0)，解得c＝－.
