苏教版高中数学选修1-1导数的概念教案VIP专享VIP免费

导数的概念【考点透视】一、考纲指要1．了解导数概念的实际背景，了解曲线的切线、运动物体的瞬时速度等。2．理解导数的几何意义，掌握函数在某点的导数的意义就是函数图象在该点的切线的斜率。3．掌握函数y=xn(x∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。4．熟练掌握导数的运算法则，尤其是和、差、常数与函数的积的导数的运算法则。二、命题落点1．导数概念的实际背景：瞬时速度是平均速度ts当t趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy当x趋近于0时的极限；边际成本是平均成本qC当q趋近于0时的极限.如例1．2．利用导数的几何、物理意义，求切线的斜率（导数方法可用于研究平面曲线的切线）、即时速度、加速度，如例2，例3．【典例精析】例1：求双曲线1yx与抛物线yx在交点处的切线的夹角．解析：按定义直接求出。先求出两曲线的交点，再分别对两个函数求导，得出两个函数在交点处的斜率，进而用夹角公式求夹角．由1,1,1.,yxxyyx对200011111,limlimlim()xxxyxxxyxxxxxxx，对yx，000()()limlimlim()xxxyxxxxxxxxxxxxxxx用心爱心专心0011limlim()()2xxxxxxxxxxx，∴111/221xy，即1211,2kk．设夹角为，则2112tan||31kkkk∴arctan3．例2：（2002·天津文）已知a＞0，函数f（x）=x3－a，x∈［0，+∞）.设x1＞0，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l.（1）求l的方程；（2）设l与x轴交点为（x2，0）.证明：（i）x2≥a31；（ii）若x1＞a31，则a31＜x2＜x1.解析：利用导数的几何意义，求切线的斜率（1）求f（x）的导数，得f′（x）=3x2，由此知切线l的方程为：y－（x13－a）=3x12（x－x1）.（2）依题意，切线方程中令y=0，x2=x1－21312131323xaxxax，（i）)2()(31)32(3131123112131213121312axaxxaxaxxax≥0，∴x2≥a31，当且仅当x1=a31时等号成立.（ii）若x1＞a31，则x13－a＞0，x2－x1=－21313xax＜0，且由（i）x2＞a31，所以a31＜x2＜x1.例3：（2004·湖南）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线用心爱心专心与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点．（1）设点P分有向线段AB所成的比为，证明:)(QBQAQP（2）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.解析：本题主要考查导数的概念和相关的解几知识。（1）依题意，可设直线AB的方程为,mkxy代入抛物线方程yx42，得.0442mkxx①设A、B两点的坐标分别是),(11yx、122),,(xyx则、x2是方程①的两根.所以.421mxx由点P（0，m）分有向线段AB所成的比为，得.,012121xxxx即又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，－m），从而)2,0(mQP.).)1(,(),(),(21212211myyxxmyxmyxQBQA])1([2)(21myymQBQAQP221212122212144)(2])1(44[2xmxxxxmmxxxxxxm.0444)(2221xmmxxm用心爱心专心所以).(QBQAQP（2）由,4,01222yxyx得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.由yx2得,21,412xyxy所以抛物线yx42在点A处切线的斜率为36xy．设圆C的方程是,)()(222rbyax则.)4()4()9()6(,3192222bababab解之，得.2125)4()4(,223,23222barba所以圆C的方程是,2125)223()23(22yx即.07223322yxyx【常见误区】1．对“变与不变”、“曲与直”、“局部与整体”、“近似与精确”、“有限与无限”等对立统一关系认识不清．2．不能正确理解导数的几何意义。函数在某点的导数的意义就是函数图象在该点的切线的斜率应用不够熟练。【基础演练】1．(2005·浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝（）A．18B．41C．21D．12．（2005·湖北）在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小...