2.2.2椭圆的几何性质双基达标限时15分钟1．一个顶点的坐标为(0，2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为__________．解析由椭圆中a>b，a>c＝3，且一个顶点坐标为(0，2)知b＝2，b2＝4，且椭圆焦点在x轴上，a2＝b2＋c2＝13.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.答案＋＝12．中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为，则椭圆的标准方程为____________．解析∵c＝1，e＝，∴a＝3，b2＝32－1＝8.∵焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋＝1.答案＋＝13．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析2a＝c＋c，e＝＝－1.答案－14．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e为________．解析由题意得|PF2|＝，|PF1|＝，由椭圆定义得＝2a，3b2＝3a2－3c2＝2a2，则此椭圆的离心率e为.答案5．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．解析由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3.故椭圆方程为＋＝1.答案＋＝16．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解椭圆方程可化为＋＝1，∴m>0.又m－＝>0，∴m>，∴a2＝m，b2＝，c＝＝.∵e＝＝，∴＝，∴m＝1.∴a2＝1，b2＝＝＝，∴a＝1，b＝.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，焦点坐标为(±，0)顶点坐标为(1，0)，(－1，0)，(0，)，(0，－)．综合提高限时30分钟7．如图所示，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为________．解析由(a＋c)2＝2a2＋b2，∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.答案8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5，4)，则椭圆的方程为________．解析设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，将点(－5，4)代入得＋＝1，又离心率e＝＝，即e2＝＝＝，解之得a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.答案＋＝19．以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．解析当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b＝c，此时可求得离心率e＝＝＝＝；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m，故有2c＝m，2a＝(1＋)m，所以，离心率e＝＝＝＝－1.答案或－110．如图所示，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1F＋P2F＋…＋P7F＝________.解析由方程可知，a＝5，b＝4，设椭圆的另一焦点为M，分别连接M与各个分点，由对称性可知：P1M＝P7F，P2M＝P6F，P3M＝P5F，P4F＝a，由椭圆定义知：P1F＋P2F＋…＋P7F＝(P1F＋P1M)＋(P2F＋P2M)＋(P3F＋P3M)＋P4F＝2a＋2a＋2a＋a＝7a＝35.答案3511．已知椭圆的对称轴是坐标轴，以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形，且焦点到椭圆的最短距离是，求此椭圆方程，并写出其中焦点在y轴上的椭圆的焦点坐标、离心率．解由题设条件及椭圆定义知2a＝4c，且a－c＝.∴c＝，a＝2，b2＝a2－c2＝9.当焦点在x轴上时，所求的方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，所求的方程为＋＝1.对后一个方程，离心率e＝＝，焦点坐标为(0，±)．12．如图，已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.解依题意知H(－，0)，F(c，0)，B(0，b)．设P(xP，yP)，且xP＝c，代入到椭圆的方程，得yP＝.∴P(c，)．∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.∴ab＝c2.∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1.∴e4＋e2－1＝0.0<∵e<1，∴e＝.13．(创新拓展)已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足OA＋OB＝0(O是坐标原点)，AF2⊥F1F2.若椭圆的离心率等于，△ABF2的面积等于4，求椭圆的方程．解如图，由OA＋OB＝0知，直线AB经过原点，∵e＝＝，∴b2＝a2，设A(x，y)，由AF2⊥F1F2知x＝c，∴A(c，y)代入椭圆方程得＋＝1，∴y＝＝，连结AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2，所以·2c·a＝4，又由c＝a，解得a2＝16，b2＝×16＝8，故椭圆方程为＋＝1.
