2-2-3(一)直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线l：3x＋4y＋6＝0与圆x2＋y2＝4的交点个数是()．A．0B．1C．2D．不确定解析圆心(0,0)到直线l的距离d＝＝＜r＝2，则直线l与圆相交，有2个交点．答案C2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于()．A.B.C．1D．5解析分别求出半径r及弦心距d(圆心到直线距离)再由弦长为2，求得．答案A3．已知圆x2－4x＋y2－4＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是()．A.B.C.D.解析将x2－4x＋y2－4＝0配方得(x－2)2＋y2＝8，圆心为P(2,0)，则点P到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.答案B4．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的切线，则切线长为________．解析圆方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心坐标为C(3,4)，半径长.由勾股定理得：切线长为2.答案25．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0.当直线l被C截得的弦长为2时，则a＝________.解析由圆的方程，知圆的半径等于2，故圆心到直线的距离等于1，由点到直线的距离公式，知＝1，解得a＝－1.答案－16．证明：直线a(x＋1)＋b(y＋1)＝0与圆x2＋y2＝2一定有公共点．证明法一圆心(0,0)到直线ax＋by＋a＋b＝0的距离d＝，a2＋b2≥，∴≤，即直线与圆必有公共点，当且仅当a＝b时，直线和圆相切．法二由得y2＋2＝2，即(a2＋b2)y2＋2b(a＋b)y＋b2－a2＋2ab＝0，Δ＝[2b(a＋b)]2－4(a2＋b2)·(b2－a2＋2ab)＝4a2(a－b)2≥0，∴直线与圆必有公共点．法三直线a(x＋1)＋b(y＋1)＝0过定点(－1，－1)，而(－1，－1)在圆x2＋y2＝2上．∴直线a(x＋1)＋b(y＋1)＝0一定与圆x2＋y2＝2有公共点．7．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于()．A.或－B．－或3C．－3或D．－3或3解析圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为，因为直线x－y＋m＝0为圆的切线，因此圆心(1,0)到直线的距离为圆的半径.从而d＝＝，解得m＝±2－，∴m＝或m＝－3.答案C8．已知点M(a，b)(ab≠0)是圆C：x2＋y2＝r2内一点，直线l是以M为中点的弦所在直线，直线m的方程是ax＋by＝r2，那么()．A．l∥m，且m与圆C相切B．l⊥m，且m与圆C相切C．l∥m，且m与圆C相离D．l⊥m，且m与圆C相离解析∵kCM＝，∴kl＝－，∴l的方程为ax＋by－a2－b2＝0.又∵m的方程为ax＋by＝r2，且a2＋b2＜r2，∴l∥m，又圆心(0,0)到m的距离d＝＞r，故m与圆C相离．答案C9．P(3,0)为圆C：x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是________．解析过P点最短的弦，应为与PC垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为x＋y－3＝0.答案x＋y－3＝010．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．解析数形结合的方法．如图所示，∠CAB＝∠BAD＝30°，∴直线l的倾斜角θ的取值范围为[0°，30°]∪[150°，180°)．∴直线l的斜率的取值范围为.答案11．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；(2)求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线．解(1)圆心C(0,1)，半径为r＝，则圆心C到直线l的距离d＝＝＜1，∴d＜r.∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．(2)设中点M(x，y)，因直线l：m(x－1)－(y－1)＝0恒过定点P(1,1)，∴kAB＝.又kMC＝，kMC·kAB＝－1，∴·＝－1.整理得：x2＋y2－x－2y＋1＝0，即2＋(y－1)2＝，表示圆心坐标是，半径是的圆．12．(创新拓展)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆截得的弦长为AB，满足以AB为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理由．解依题意，设直线l的方程为：y＝x＋b.①圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.②联立①②消去y得：2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有③因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2，所以2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，把③代入得：b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1，或b＝－4，故存在，直线方程是x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
