苏教版必修5高中数学基本不等式的证明1VIP免费

基本不等式的证明教学目标（1）进一步掌握基本不等式；（2）会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。教学重点，难点基本不等式的灵活运用。教学过程一．问题情境1．情境：（1）复习：基本不等式；（2）练习：已知,,,1abcRabc，求证：1119abc2．基本不等式除了常用于证明不等式外，还经常用于求某些函数的最大值或最小值。二．建构数学已知yx,都是正数，①如果积xy是定值p，那么当yx时，和yx有最小值p2；②如果和yx是定值s，那么当yx时，积xy有最大值241s．证明：∵Ryx,，∴xyyx2，用心爱心专心①当xyp(定值)时，pyx2∴yxp2，∵上式当yx时取“”，∴当yx时有min)(yxp2；②当syx(定值)时，2sxy∴241sxy，∵上式当yx时取“”∴当yx时有2max41)(sxy．说明：①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。三．数学运用1．例题：例1．（1）求lglog10xx)1(x的最值，并求取最值时的x的值。解：∵1x∴0lgx010logx于是210lglg210loglgxxxx，当且仅当lglog10xx，即10x时，等号成立，∴lglog10xx)1(x的最小值是2，此时10x．（2）若上题改成10x，结果将如何？用心爱心专心解：∵10x0lgx010logx，于是2)10log()lg(xx，从而210loglgxx，∴lglog10xx(01)x的最大值是2，此时110x．例2．求(4)(04)yxxx的最大值，并求取时的x的值。解：∵04x，∴0,40xx，∴4(4)22xxxx则(4)4yxx，当且仅当4xx，即2(0,4)x时取等号。∴当2x时，(4)(04)yxxx取得最大值4。例3．若1x，则x为何值时11xx有最小值，最小值为多少？解：∵1x，∴01x，∴011x，∴11xx=1111xx12(1)12111xx，当且仅当111xx即0x时1)11(minxx例4．若21xy，求11xy的最小值。用心爱心专心解：∵21xy，∴1122xyxyxyxy22123()322yxyxxyxy当且仅当221yxxyxy，即21222xy时取等号，∴当2221,2xy时，11xy取最小值3222．练习：（1）若1,0,0abab，求ab的最值；（2）下列函数中，最小值是2的是（）()A1yxx()Bsincscyxx，(0,)2x()C2221xyx()D2232xyx四．回顾小结：1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配凑出和为定值；（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。五．课外作业补充：1．已知101,01,9xyxy，求1133loglogxy的最大值，并求相应的,xy值。2．已知0x，求423xx的最大值，并求相应的x值。3．已知02x，求函数()3(83)fxxx的最大值，并求相应的x值。用心爱心专心4．已知0,0,31,xyxy求11xy的最小值，并求相应的,xy值。用心爱心专心