两个平面垂直的判定和性质[基础知识]两个平面相交————二面角————二面角的平面角————直二面角————两个平面垂直————判定与性质[学习指导]1.如何学好"面面垂直"的建议?学习"面面垂直"时,要与学习过的"线线垂直"、"线面垂直"进行对比地学习,要注意归纳,总结它们之间的类比关系。注意掌握它们之间进行转化的思维方法,即2.采用"定义法"判定两个平面垂直的一般步骤是什么?可分为三步:(1)作出两个相交平面所成二面角的平面角;(2)证明这个平面角是直角;(3)根据定义得出两个平面垂直。3.解题中,如何作二个相交平面所成二面角的平面角?作二个相交平面所成二面角的平面角,要视已知条件中某个关键点的位置而定.(1)棱上,则采用"定义法",即以二面角的棱上该点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角即是二面角的平面角.(2)采用"三垂线法",即过该点分别向另一个平面及棱作垂线,后者与其在另一个平面内的射影所成的角即是二面角的平面角.(3)面外,则采用"垂面法",即过该点作二面角的棱的垂直的平面,其与二个相交平面交线所成的角即是二面角的平面角.注意:在(2),(3)中也可能所得的角是二面角的平面角的邻补角。如图6-1;1面面垂直线面垂直判定线线垂直性质性质判定[例题精析]例1.共面的三条射线OA、OB、OC，使°，，求二面角B-OA-C的大小.[分析]此题考虑用"定义法"指出二面角的平面角,然后在三角形中求平面角的大小.[解]如图6-2,在OA上任取一点P,在平面AOB内作PQ⊥OA,交OB于Q,在平面AOC内作PR⊥OA交OC于R,连结QR.∴∠QPR即是二面角B-OA-C的平面角.P=a,在Rt△OQ中 ∠POQ=45°∴PQ=a,OQ=a。同理PR=a,OR=a。在△QOR中，∴∠QOR=60°,OQ=OR=,∴QR=a，在△PQR中， PQ=PR=a,QR=∴QR=,在△PQR中， PQ=PR=a,QR=,∴PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°即二面角B-OA-C的度数为90о,是直二面角[解题后的点拨]作二面角的平面角可有三种方法,即①定义法②三垂线法③垂面法,具体用哪种方法,要由已知条件确定。例2.如图6-3,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BAC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC.[分析]由条件可以得到如下结论:①△ABC和△BSC都是等腰三角形;②S在平面ABC内的射影是△ABC的外心,从而可以得到两种证法。[证法1]：在平面ABC中,作AD⊥BC于D,,且均是正三角形,∴AB=AC,SB=SC,BD=CD,∴△BAC是等腰直角三角形,∴SD⊥BC,AD=BD.2 AD2+SD2=BD2+SD2=SB2=AS2,∴AD⊥SD,即∠ADS=90°,∴平面ABC⊥平面BSC。[证法2]:作SD⊥平面ABC,垂足为D. SA=SB=SC,∴D是△ABC的外心, ∠ASB=∠ASC=60°,∠BAC=90°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴D是BC的中点,即SD平面BSC,∴平面ABC⊥平面BSC.[解题后的点拨]要证明两个平面垂直,只要证明两个平面所成的二面角是直二面角或证明一个平面经过另一个平面的垂线。例3.如图6-4,ABCDEF是边长为a的正六边形,将此六边形沿对角线AD折成二面角M-AD-N,当此二面角的余弦值为何值时，FC与AD所成的角为45°？[分析]此题要从确定二面角的平面角入手，易证EC⊥AD,所以翻折后即可得到二面角M-AD-N的平面角。[解]图6-5是折叠后的立体图形,在正六边形ABCDEF中,连结EC,交AD于G, EG⊥AD,CG⊥AD,∴∠EGC即是二面角M-AD-N的平面角。 EF//AD,∴EF⊥EG,EF⊥CG,∴EF⊥平面ECG,EF⊥EC,又∠EFC为FC与AD所成的角,∠EFC=45°,∴△EFC是等腰直角三角形,EC=EF=a.又 在Rt△EGD中,EG2=ED2―GD2=,∴EG=CG=,在△EGC中，∴当二面角M-AD-N的余弦值为时，FC与AD所成的角为45°.[巩固提高](一)选择题：1.面角是（）(A)两个平面相交所成的角;(B)一个平面绕这平面的一条直线旋转成图形;3(C)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形;(D)从一个平面内一条直线出发的一个半平面与这平面所组成的图形.2.点D是二面角-AB-的棱AB上的一点，DP在内且与AB成45°角，DP与平面成30°角，则二面角-AB-的度数是（）(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°3.列命题中正确的是（）(A)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一平面;(B)两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两条直线，一定分别与另一平面垂直;(C)两个平面垂直，在其中一...
