下学期高一数学第一章解三角形全章教案1.1第1课时正弦定理(1)教学目标（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识；（3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．教学重点，难点正弦定理的推导及其证明过程．教学过程一．问题情境在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？探索1我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在中，设，则，，，即：，，，．探索2对于任意三角形，这个结论还成立吗？二．学生活动学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理．三．建构数学探索3这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设为最大角，若为直角，我们已经证得结论成立，如何证明为锐角、钝角时结论也成立？证法1若为锐角（图（1）），过点作于，此时有，，所以，即．同理可得，所以．若为钝角（图（2）），过点作，交的延长线于，此时也有，且．同样可得．综上可知，结论成立．证法2利用三角形的面积转换，先作出三边上的高、、，则，，．所以，每项同除以即得：．探索4充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在中，有．设为最大角，过点作于（图（3）），于是．设与的夹角为，则，其中，当为锐角或直角时，；当为钝角时，．故可得，即．同理可得．因此．四．数学运用1．例题：例1．在中，，，，求，．解：因为，，所以．因为，所以，．因此，，的长分别为和．例2．根据下列条件解三角形：（1）；（2）．解：（1），∴，，∴，∴为锐角，∴，∴．（2），∴，∴，∴当；∴当；所以，．说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题．练习：在中，，，，求和．说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题．2．练习：（1）在中，已知，，，则，．（2）在中，如果，，，那么，的面积是．（3）在中，，，则．（4）课本第页练习第题．五．回顾小结：1．用两种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．2．初步应用正弦定理解斜三角形．六．课外作业：课本第页练习第题；课本第页习题第、题§1.1.1第2课时正弦定理(2)教学目标（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；（2）熟记正弦定理（为的外接圆的半径）及其变形形式．教学重点，难点利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理．教学过程一．问题情境上节课我们已经运用两种方法证明了正弦定理，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？二．学生活动学生根据第页的途径（2），（3）去思考．三．建构数学证法1建立如图（1）所示的平面直角坐标系，则有，，所以的面积为．同理的面积还可以表示为及，所以．所以．证法2如下图，设是的外接圆，直径．（1）如图（2），当为锐角时，连，则，．又，所以．（2）如图（3），当为钝角时，连，则，．又，可得，所以．（3）当为直角时，，显然有．所以不论是锐角、钝角、直角，总有．同理可证，．所以．由此可知，三角形的各边与其所对角的正弦之比是一个定值，这个定值就是三角形外接圆的直径．由此可得到正弦定理的变形形式：（1）；（2）；（3）．四．数学运用1．例题：例1．根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．（1），，，求；（2），，，求；（3），，，求；（4），，，求；（5），，，求．解：（1） ，∴只能是锐角，因此仅有一解．（2） ，∴只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．（5）由于为锐角，又，即，∴无解．例2．在中,已知判断的形状．解：令，由正弦定理，得，，．代入已知条件，得，即．又，，，所以，从而为正三角形．说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边...
