§3.1.1方程的根与函数的零点山东省临沭县第二中学（276700）刘康平【教材分析】本节是在学习完成函数的性质和几个常见的函数类型以后学习的，它对函数的性质和常见的函数类型起着深化提高的作用，又是后续学习的基础，本节的内容建立在二次函数和二次方程的关系上研究的，同时它又是新课标独立出来的一节，内容重要。一、教学目标知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法：零点存在性的判定．情感态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点（1）对函数零点的概念理解（2）函数零点存在性的判定三、教学难点函数零点的存在性的确定四、课型新授课【教学过程】一、创设情景：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：方程与函数方程与函数方程与函数教师通过引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，学生在教师的引导下，独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．二、引导探究：1.函数的零点由特殊的几个一元二次方程与相应的二次函数图像，学生们总结的结论为：一元二次方程的根与相应的二次函数图像与轴交点的横坐标是相等的。上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？引导学生继续深入的思考，这种由特殊到一般的推理是否正确？引导学生仔细体会，感悟其中的思想方法．引导探究：推广的一般的一元二次方程与相应的二次函数．１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点；２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点（两个重合的交点）；３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点。引导学生验证同学们总结的结论的正确性。并组织学生归纳总结，教师适时点拨，给出零点的定义。一元二次方程的根与相应的二次函数图像与轴交点的横坐标是相等的。函数的零点：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．教师趁热打铁组织学生加强对定义的理解，并回顾总结函数零点的探索过程和体验加深对函数零点的认识和理解，教师继续引导学生探究，使认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法，组织学生根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．2.函数零点的求法教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．学生结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．（Ⅰ）观察二次函数的图象：在区间上有零点______；_______，_______,·_____0（＜或＞）．在区间上有零点______；·____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数的图象在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？组织学生总结刚才探索所发现的结论，并加以讨论，形成集体的意见。三、归纳应用：1．归纳总结（1）函数零点：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）函数的零点存在性的结论如果函数在区间，上的图像是连续不断的一条曲线，并且满足·，那么函数在区间，内有零点，即存在，，使得，这个也就是方程的根。引导学生进行总结知识要点，使得学生学会抓住主要问题和问题的主要部分进行学习。2．例题精析例1．求函数的零点个数．引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．问题：1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？例2．求函数零点，并画出它的大致图象．3.跟踪训练1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（2）；（3）；（4）．2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）；（2）；（3）；（4）．4．学后...
