第9课时导数的概念与导数的运算一、填空题1．已知函数f(x)＝2x2－1图象上一点(1,1)及邻近点(1＋Δx,1＋Δy)，则＝________.解析：我们把＝称为函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，这里＝0时，―→4,4是f(x)在x＝1处的导数．答案：4＋2Δx2．曲线y＝2x3在x＝1处的切线的斜率是________．解析：令y＝f(x)＝2x3，∴y′＝f′(x)＝6x2，∴f′(1)＝6.答案：63．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于________．解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.答案：－44．(·江苏姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前黄中学四校联考)已知函数f(x)＝x·ex，则f′(0)＝________.解析：f′(x)＝(x·ex)′＝ex＋xex，∴f′(0)＝1.答案：15．(南通市高三调研考试)曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________.解析：由f(x)＝sinx＋ex＋2得f′(x)＝cosx＋ex，从而f′(0)＝2，又f(0)＝3，所以切线方程为y＝2x＋3.答案：y＝2x＋36．(盐城市调研测试)设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率范围是[－1，3]，则点P纵坐标的取值范围是________．解析：由题知，y′＝2x－1，所以－1≤2x－1≤3，即0≤x≤2.此时y＝x2－x＋1＝2＋的值域为，故点P纵坐标的取值范围是.答案：7．(苏北四市高三第二次联考)已知函数f(x)＝f′sinx＋cosx，则f＝________.解析：由题意f′(x)＝f′()cosx－sinx，得f′()＝f′·cos－sin，即f′＝－1，∴f(x)＝－sinx＋cosx，则f＝－sin＋cos＝0.答案：0二、解答题8．求下列函数的导数：(1)f(x)＝x2ex；(2)f(x)＝(2x＋1)lnx；(3)f(x)＝sin·cos(1＋2x)．解：(1)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex；(2)f′(x)＝((2x＋1)lnx)′＝(2x＋1)′lnx＋(2x＋1)·(lnx)′＝2lnx＋；(3)f(x)＝sinx(1＋2x)，f′(x)＝(sinx)′(1＋2x)＋sinx(1＋2x)′＝cosx(1＋2x)＋sinx·2xln2.9．(·句容高级中学高三调研)已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．解：(1)由题意f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，当0
1时，f′(x)>0；所以f(x)的递减区间为(0,1)，递增区间为(1，＋∞)，极小值为f(1)＝1，无极大值．(2)由g(x)＝x2＋alnx＋得g′(x)＝2x＋－，若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调递增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立．即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，令h(x)＝－2x2，则h′(x)＝－－4x<0所以h(x)在[1，＋∞)上为减函数，因此h(x)有最大值h(1)＝0，所以a的取值范围是[0，＋∞)．10．(·金陵中学上学期期中卷)设函数f(x)＝p－2lnx，g(x)＝(p是实数，e是自然对数的底数)．(1)当p＝2时，求与函数y＝f(x)的图象在点A(1,0)处相切的切线方程；(2)若函数f(x)在其定义域内单调递增，求实数p的取值范围；(3)若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求实数p的取值范围．解：(1) f′(x)＝p＋－，当p＝2时，点A(1,0)在函数y＝f(x)的图象上，∴f′(1)＝2.则y＝f(x)在该点处的切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2) f′(x)＝，要使f(x)为单调增函数，须f′(x)≥0在(0，＋∞)恒成立，即px2－2x＋p≥0在(0，＋∞)恒成立，即p≥＝在(0，＋∞)恒成立，又≤1，所以当p≥1时，f(x)在(0，＋∞)为单调增函数；(3)因g(x)＝在[1，e]上为减函数，所以g(x)∈[2,2e]．①当p≤0时，f′(x)＝p＋－<0对于x∈[1，e]恒成立，则f(x)在[1，e]上递减，所以f(x)max＝f(1)＝0<2，不合题意；②当p≥1时，由(2)知f(x)在[1，e]上递增，f(x)min＝f(1)<2，又g(x)在[1，e]上为减函数，故只需f(x)max>g(x)min，即f(e)＝p－2lne>2，解得p>；③当0
