难点探究专题：相似三角形中的动点及探究型问题◆类型一相似中的动点问题1．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝14CD，若AB＝1，设BM＝x，当x＝时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．第1题图2．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动．若以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为s.第2题图3．如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC＝.4．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，点P在直线BD上，由B点向D点移动．(1)当P点移动到离B点多远时，△ABP∽△PDC?(2)当P点移动到离B点多远时，∠APC＝90°？【方法10.2】◆类型二相似中的探究型问题5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果ADDB＝m，AEEC＝n.那么m与n满足的关系式是：m＝(用含n的代数式表示m)．6．(盐城中考)设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②，将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2⋯依此类推，则Sn可表示为(用含n的代数式表示，其中n为正整数)．7．(淄博中考)如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点(点P与点B，C不重合)，平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1.设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y.(1)求y与x的函数关系式；(2)上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．难点探究专题：相似三角形中的动点及探究型问题1.12或452.2.4或1.53.6.4或104．解：(1)由AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，设BP＝xcm，则PD＝(14－x)cm.若△ABP∽△PDC，∴ABPD＝BPDC，即614－x＝x4，变形得14x－x2＝24，即x2－14x＋24＝0，解得x1＝2，x2＝12，∴BP＝2cm或12cm时，△ABP∽△PDC；(2)若∠APC＝90°，则∠APB＋∠CPD＝90°.又∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠A＋∠APB＝90°，∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，由(1)得此时BP＝2cm或12cm，则当BP＝2cm或12cm时，∠APC＝90°.5．2n＋16.12n＋17．解：(1)∵四边形AFPE是平行四边形，∴PF∥CA，∴△BFP∽△BAC，∴S△BFPS△BAC＝x22.∵S△ABC＝1，∴S△BFP＝x24，同理：S△PEC＝2－x22，∴y＝1－x24－4－4x＋x24，∴y＝－x22＋x；(2)上述函数有最大值，最大值为12.理由如下：∵y＝－x22＋x＝－12(x－1)2＋12，－12＜0，∴y有最大值，∴当x＝1时，y有最大值，最大值为12.
