第10课时导数在研究函数中的应用导数在实际生活中的应用一、填空题1．(江苏省启东中学高三质量检测)曲线y＝x3＋x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为________．解析：曲线y＝x3＋x在点处的切线斜率为y′|x＝1＝x＝1＝(x2＋1)|x＝1＝2，所以切线的方程为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，与x轴的交点和y轴的交点为，，所求面积为S＝××＝.答案：2．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设m∈R，若函数y＝ex＋2mx，有大于零的极值点，则m的取值范围是________．解析：因为函数y＝ex＋2mx，有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m>1，即m<－.答案：m<－3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知f(x)＝x2＋2x＋alnx，若f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数，则实数a的取值范围为________．解析：由题意知，f′(x)＝2x＋2＋＝， f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数，∴f′(x)在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0，∴2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在区间(0,1]上恒成立，即a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)，而函数y＝－2x2－2x在区间(0,1]的值域为[－4,0)，∴a≥0或a≤－4.答案：a≥0或a≤－44．已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＞0，f′(x)＞0，则函数y＝xf(x)的递增区间是________．解析：当x＞0时，y′＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴y＝xf(x)在(0，＋∞)上递增．又f(x)为奇函数，∴y＝xf(x)为偶函数，∴y＝xf(x)在(－∞，0)上递减．答案：(0，＋∞)5．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R＝R(x)＝，则总利润最大时，每年生产的产品是________．解析：由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20000＋100x，所以总利润函数为P＝P(x)＝R(x)－C(x)＝而P′(x)＝令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，P最大．答案：3006．(江苏省高考命题研究专家原创卷)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)<0恒成立，且f(4)＝1，若f(x＋y)≤1，则x2＋y2＋2x＋2y的最小值是________．解析：由f(x)在(0，＋∞)上的导函数f′(x)<0恒成立，得f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为f(x＋y)≤1，f(4)＝1，则f(x＋y)≤f(4)，所以x，y满足x＋y≥4且x>0，y>0.又因为x2＋y2＋2x＋2y＝(x＋1)2＋(y＋1)2－2，(x＋1)2＋(y＋1)2可以看作是(x，y)到(－1，－1)的距离的平方，所以由线性规划知识可得x2＋y2＋2x＋2y的最小值是16.答案：167．(江苏省高考命题研究专家原创卷)幂指函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny＝g(x)lnf(x)，两边求导得＝g′(x)lnf(x)＋g(x)，于是y′＝f(x)g(x).运用此方法可以探求得知y＝(x>0)的一个单调递增区间为________．解析：由题意得y′＝＝－2(1－lnx)，由y′>0得0时，y′>0；sinθ<时，y′<0， y=sinθ在上是增函数，∴当角θ满足sinθ=时，y最小，最小为4+2；此时BC=2－(m)．9.(江苏省高考命题研究专家原创卷)一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．(1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)后，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？(2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？解：(1)由题可设，安全负荷y1=k·(k为正常数)，翻转90°...
