第三章多变量系统的极点、零点和稳定性Poles,ZerosandStabilityofMultivariableFeedbackSystems本章内容：传递函数的Smith-McMillan标准形传递函数的极点和零点传递函数的矩阵分式描述(MFD)系统的内稳定奈奎斯特稳定判据3.1Introduction多变量系统的传递函数矩阵transfer-functionmatrix是有理真分式(rationalproperfraction)，对多变量系统的研究很多时候采用状态空间模型。最基本的两个系统的连接(connection)：串联(series)、并联(parallel)和反馈(feedback)连接。一个反馈系统如图2.1(c)【P85】，有关系式则(注意乘积的顺序)回差(returndifference)：回比(returnratios)：3.2传递函数的Smith-McMillan形式对极点、零点的一般化研究，需要Smith-McMillan标准形式.单模阵(幺模阵,unimodular)：与都是多项式矩阵.或常数(与s无关)初等矩阵(elementarymatrix)：单位矩阵经过一次初等变换(elementaryoperations)后的矩阵。初等变换：交换两行或列；用常数乘以某行或列；某行或列乘一多项式加到另一行上。两个矩阵等价，与等价，记为：定理3.1：任意多项式矩阵等价于一个伪对角多项式，形式为Smith标准型Smithform(pseudo-diagonalpolynomialmatrix)：是首一(monic)多项式，是的不变因子，且满足：(整除特性divisibilityproperty)是的不变因子(invariantfactors)。行列式因子.determinantaldivisors例1：化下面多项式矩阵为Smith标准形式(怎样化标准形？)定理3.2(Smith-McMillanform):如果是有理函数矩阵rationalmatrix，具有一般秩，则可以通过系列初等变换化为Smith-McMillan标准形：解释一般秩：Normalrank例23.3传递函数的极点和零点PolesandZerosofatransferfunctionmatrix定义极点多项式：零点多项式：与的根(roots)称为传递函数的极点和零点传递函数的极点和零点的含义：极点：的分母中有因子(以该点为根)零点：的分子中不一定有因子，但该点使的秩下降，但重数不能这样简单确定。极点多项式的次数称为传递函数的McMillan次(degree)零点：通常称为传递(输)零点(transmissionzeros)上面例2中，零点2,极点-1,-1,-2,都是简单的(simple)。推论：如果是方的，则。3.4矩阵分式描述MatrixFractionDescription(MFD)设是严格真(strictlyproper)有理传递函数，和是单模阵，可化为Smith-McMillan标准型：上式被称为的右矩阵分式描述(rightmatrixfractiondescription).(同理有左矩阵分式描述)---分子矩阵(numeratormatrix)---分母矩阵(denominatormatrix)(1)zisazeroofifandonlyiflosesrank(2)pisapoleofifandonlyiflosesrankMFD表示不是唯一的定义：右互质(rightcoprime)如果只对单模阵成立，则称与右互质这时称是不可约的(irreducible)怎样判定与右互质？存在多项式矩阵使得。如果是不可约的(irreducible)，则的极点多项式：.3.5状态空间实现StateSpaceRealization显然有定理3.3：设有最小实现，是的首一极点多项式，则例3：最小实现3.6多少零点？HowManyZeros?有零点的非方形传递函数是特殊的，一般的非方形传递函数无零点例4：怎样判定下面传递函数是否有零点？SISO传递函数情况：零点和极点：有m个有限(finite)零点，有n个有限极点如果，在无穷远处(atinfinity)有个零点如果，在无穷远处(atinfinity)有个极点在的极点和零点，通过在的极、零点来定义.传递函数是方阵情况：定理3.4：如果是方阵，那么它的极点和零点一样多设在0有个零点，个极点，则总的极点数与总的零点数相等：非方形传递函数上面结论不成立。例5：有两个极点，没有零点。关于零点的进一步讨论(furtherdiscussion)设是方形，维数，最小实现：若，则在至少有个零点这样至少有个零点在无穷远处因此至多个有限零点但当时，一般情况，的秩在无穷远处不下降，所以得有n个有限零点。若，至多有个有限零点，至少m个零点在无穷远处当时，恰有个有限零点当时，至多有个有限零点更精确计算有限零点的数目需要检查马可夫(Markov)参数：.更详细讨论Kailath(1980),MacFarlane(1976)--IJC3.7内部稳定性InternalStability定义：指数稳定(exponentiallystable)：正则且没有闭右半复平面(CRHP)极点.内部稳定(internallystable...
