第3课时数学归纳一、填空题1．平面内有n(n≥2)个圆心在同一直线l上的半圆，其中任何两个都相交，且都在直线l的同侧(如图)，则这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧的段数为________．解析：设最多分成的圆弧的段数为f(n)，则由题图容易发现，f(2)＝4＝22，f(3)＝9＝32，f(4)＝16＝42.答案：n22．(·江西吉水一中)设n∈N*，则4×6n＋5n＋1除以20的余数为________．解析：取n＝1，则4×6n＋5n＋1＝24＋25＝49，被20除余数为9.答案：93．用f(n)表示凸n边形的内角和，则f(k＋1)＝f(k)＋________.解析：因为由凸k边形变为凸k＋1边形时，其内角增加了一个三角形的内角和，所以f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π4．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．解析：∵当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋…＋k＋(k＋1)＋k＋…＋2＋1，∴从n＝k到n＝k＋1时，应添(k＋1)＋k＝2k＋1.答案：2k＋15.(江苏南京模拟)用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．解析：不等式的左边增加的式子是＋－＝.答案：6．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是______．解析：n＝1时，21>13，n＝2,3，…，9时2n103，∴n0＝10.答案：107．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________．解析：a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝.答案：an＝二、解答题8．用数学归纳法证明：＋＋…＋＝.证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即＋＋…＋＝，则＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，即当n＝k＋1时等式成立．∴由(1)(2)知，等式成立．9．(·江西莲塘一中测试)用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1－＋－＋…＋－F＝＋＋…＋，那么当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋.上式表明当n＝k＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立．10．(·通州市高三素质检测)用数学归纳法证明不等式：＋＋＋…＋＞1(n∈N*且n＞1)．证明：(1)当n＝2时，不等式的左边为＋＋＝＞1，故n＝2时表达式成立；(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N*)时不等式成立，即＋＋＋…＋＞1那么，当n＝k＋1时，由k≥2得＋＋…＋＋＋＋…＋＞1－＋＋…＋＞1－＋＝1－＋＝1＋当k≥2时，k2－k－1＞0成立，故当n＝k＋1时不等式也成立根据(1)和(2)可知，当n＞1，n∈N*时不等式都成立．1．试证：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．证明：证法一：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)．即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知，对任意的n∈N*，命题都成立．证法二：(1)当n＝1时，f(1)＝32－8－9＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1时命题成立．根据(1)(2)可知，对任意的n∈N*命题都成立．2．已知Sn＝1＋＋＋…＋，求证：>1＋(n≥2，k∈N*)．证明：(1)当n＝2时，＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立．(2)设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋，故当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)知，对n∈N*，n≥2，不等式S2n>1＋都成立．
