线性空间,基和维数VIP免费

§2§2线性空间的定义线性空间的定义与简单性质与简单性质§3§3维数维数··基与坐标基与坐标§4§4基变换与坐标变换基变换与坐标变换§1§1集合集合··映射映射§5§5线性子空间线性子空间§7§7子空间的直和子空间的直和§8§8线性空间的同构线性空间的同构§6§6子空间的交与和子空间的交与和小结与习题小结与习题第六章线性空间第六章线性空间§§6.36.3维数基坐标维数基坐标一、一、线性空间中向量之间的线性关系线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标二、线性空间的维数、基与坐标§§6.36.3维数维数··基与坐标基与坐标§§6.36.3维数基坐标维数基坐标引引入入即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？问题Ⅰ如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）问题Ⅱ线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？（坐标问题）§§6.36.3维数基坐标维数基坐标一、线性空间中向量之间的线性关系一、线性空间中向量之间的线性关系11、有关定义、有关定义设V是数域P上的一个线性空间（1）1212,,,(1),,,,,rrVrkkkP和式1122rrkkk的一个线性组合．称为向量组12,,,r（2），若存在12,,,,rV12,,,rkkkP则称向量可经向量组线性表出；12,,,r1122rrkkk使§§6.36.3维数基坐标维数基坐标若向量组中每一向量皆可经向量组12,,,s12,,,r线性表出，则称向量组12,,,s可经向量组线性表出；12,,,r若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的．（3）12,,,rV，若存在不全为零的数12,,,rkkkP，使得11220rrkkk则称向量组为线性相关的；12,,,r§§6.36.3维数基坐标维数基坐标（4）如果向量组不是线性相关的，即12,,,r11220rrkkk只有在时才成立，120rkkk则称为线性无关的．12,,,r（1）单个向量线性相关0.单个向量线性无关0向量组线性相关12,,,r12,,,r中有一个向量可经其余向量线性表出．22、有关结论、有关结论§§6.36.3维数基坐标维数基坐标（2）若向量组线性无关，且可被12,,,r向量组线性表出，则12,,,s;rs若与为两线性无关的12,,,r12,,,s等价向量组，则.rs（3）若向量组线性无关，但向量组12,,,r12,,,,r线性相关，则可被向量组线性表出，且表法是唯一的．12,,,r§§6.36.3维数基坐标维数基坐标因为，对任意的正整数n，都有n个线性无关的向量11、无限维线性空间、无限维线性空间若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V是无限维线性空间．例1所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的.1，x，x2，…，xn－1二、线性空间的维数、基与坐标二、线性空间的维数、基与坐标§§6.36.3维数基坐标维数基坐标22、有限维线性空间、有限维线性空间n维线性空间；常记作dimV＝n.（（11））nn维线性空间维线性空间：：若在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是任意n＋1个向量都是线性相关的，则称V是一个注：注：零空间的维数定义为0.dimV＝0V＝{0}§§6.36.3维数基坐标维数基坐标在n维线性空间V中，n个线性无关的向量（（22））基基12,,,n，称为V的一组基；下的坐标，记为12(,,,).naaa（（33））坐标坐标设为线性空间V的一组基，12,,,n,V则数组，就称为在基12,,,n12,,,naaa112212,,,,nnnaaaaaaP若§§6.36.3维数基坐标维数基坐标有时也形式地记作1212(,,,)nnaaa注意：注意：向量的坐标12(,,,)naaa是被向量和基12,,,n唯一确定的．即向量在基下的坐标唯一的.12,,,n但是，在不同基下的坐标一般是不同的．§§6.36.3维数基坐标维数基坐标33、线性空间的基与维数的确定、线性空间的基与维数的确定定理定理：若线性空间V中的向量组满足12,,,n...