人教A版2019年高中数学选修2教学案：章末小结与测评_含答案VIP免费

在散点图中样本点大致分布在一条直线附近，则利用线性回归模型进行研究，可近似地利用回归直线方程y^＝b^x＋a^来预报，利用公式求出回归系数a^，b^，即可写出回归直线方程，并用回归直线方程进行预测说明．[典例1]以下是某地收集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积x/m211511080135105销售价格y/万元24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)若线性相关，求线性回归方程；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．解：(1)数据对应的散点图如图所示．(2)由散点图知y与x具有线性相关关系．由表中数据知x＝15i＝15xi＝109，y＝15i＝15yi＝23.2，i＝15x2i＝60975，i＝15xiyi＝12952.设所求回归直线方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝i＝15xiyi－5x－y－i＝15x2i－5x2≈0.1962，a^＝y－b^x－≈1.8142，故所求回归直线方程为y^＝0.1962x＋1.8142.(3)根据(2)，当x＝150时，销售价格的估计值为y^＝0.1962×150＋1.8142＝31.2442(万元)．[对点训练]1．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程y^＝b^t＋a^；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y^＝b^t＋a^中，b^＝i＝1ntiyi－ntyi＝1nt2i－nt－2，a^＝y－b^t.解：(1)列表计算如下：itiyit2itiyi11515226412337921448163255102550∑153655120这里n＝5，t＝1ni＝1nti＝155＝3，y＝1ni＝1nyi＝365＝7.2，又ltt＝i＝1nt2i－nt－2＝55－5×32＝10，lty＝i＝1ntiyi－nty＝120－5×3×7.2＝12，从而b^＝ltyltt＝1210＝1.2，a^＝y－b^t＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y^＝1.2t＋3.6.(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).对于建立的回归模型，我们必须对模型的拟合效果进行分析，也就是对利用回归模型解决实际问题的效果进行评价．一方面可以对比残差或残差平方和的大小，同时观察残差图，进行残差分析；另一方面也可以研究数据的R2(相关系数r)．对模型拟合效果的分析能够帮助我们利用最优化的模型来解决实际问题．[典例2]在研究弹簧伸长长度y(cm)与拉力x(N)的关系时，对不同拉力的6根弹簧进行测量，测得如下表中的数据：x/N51015202530y/cm7.258.128.959.9010.911.8若依据散点图及最小二乘法求出的回归直线方程为y^＝0.18x＋6.34，求R2，并结合残差说明拟合效果．解：列表求值如下：xi51015202530yi7.258.128.959.9010.911.8xiyi36.2581.2134.25198272.5354x2i25100225400625900yi－y^i0.01－0.02－0.09－0.040.060.06yi－y－2.24－1.37－0.540.411.412.31x＝17.5，y≈9.49，i＝16xiyi＝1076.2，i＝16x2i＝2275，i＝16(yi－y^i)2＝0.0174，i＝16(yi－y)2＝14.6784.∴R2＝1－0.017414.6784≈0.99881，回归模型拟合效果较好．由表中数据可以看出残差比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高．[对点训练]2．从某大学中随机选取5名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编号12345身高x/cm165165157170175体重y/kg4857505464甲、乙两位同学在计算根据女大学生的身高预报体重的回归方程时，分别得到以下回归模型：甲：y^＝0.75x－70；乙：y^＝0.76x－71.试依据R2判定哪一个模型的拟合效果较好？解：对甲模型，yi－y^i与yi－y的值如下表：yi－y^i－5.753.252.25－3.52.75yi－y－6.62.4－4.6－0.69.4所以i＝15(yi－y^i)2＝(－5.75)2＋3.252＋2.252＋(－3.5)2＋2.752＝68.5，i＝15(yi－y)2＝(－6.6)2＋2.42＋(－4.6)2＋(－0.6)2＋9.42＝159.2.此时R2＝1－68.5159.2≈0.57.对乙模型，yi－y^i与yi－y的值如下表：yi－y^i－6.42.61.68－4.22yi－y－6.62.4－4.6－0.69.4所以i＝15(yi－y^i)2＝(－6.4)2＋2.62＋1.682＋(－4.2)2＋22≈72.2，i＝15(yi－y)2＝(－6.6)2＋2.42＋(－4.6)2＋(－0.6)2＋9.42＝159.2.此时R2＝1－72.2159.2≈0.55.因为0.57>0.55，所以甲模型的拟合效果较好.独立性检验就是根据采集的样本数据，利用公式求出随机变量K...