3.4基本不等式2abab(2)一、选择题1．若x＞0，则函数y＝－x－1x()A．有最大值－2B．有最小值－2C．有最大值2D．有最小值2解析：因为x＞0，所以x＋1x≥2.所以－x－1x≤－2.当且仅当x＝1时，等号成立，故函数y＝－x－1x有最大值－2.答案：A2．数列{an}的通项公式an＝nn2＋90，则数列{an}中的最大项是()A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项解析：an＝nn2＋90＝1n＋90n，因为n＋90n≥290，且n∈N*，所以当n＝9或10时，n＋90n最小，an取最大值．答案：D3．lg9·lg11与1的大小关系是()A．lg9·lg11＞1B．lg9·lg11＝1C．lg9·lg11＜1D．不能确定解析：lg9×lg11≤lg9＋lg1122＝lg9922＜lg10022＝222＝1.答案：C4．已知a，b∈R，且a＋b＝1，则ab＋1ab的最小值为()A．2B.52C.174D．22答案：C5.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5km处B．4km处C．3km处D．2km处解析：设仓库建在离车站xkm处，则土地费用y1＝k1x(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝45，故总费用y＝20x＋45x≥220x·45x＝8，当且仅当20x＝45x，即x＝5时等号成立．答案：A二、填空题6．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．解析：因为实数x，y满足xy＝1，所以x2＋2y2≥2x2·2y2＝22（xy）2＝22，当且仅当x2＝2y2且xy＝1，即x2＝2y2＝2时等号成立，故x2＋2y2的最小值为22.答案：227．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．解析：ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，所以(ab－3)(ab＋1)≥0，所以ab≥3，所以ab≥9.答案：[9，＋∞)8．当x＞1时，不等式x＋1x－1≥a恒成立，则实数a的最大值为________．解析：x＋1x－1≥a恒成立?x＋1x－1min≥a，因为x＞1，即x－1＞0，所以x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2（x－1）·1x－1＋1＝3，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立．所以a≤3，即a的最大值为3.答案：3三、解答题9．(1)已知x＜3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；(2)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝4，求1x＋3y的最小值．解：(1)因为x＜3，所以x－3＜0，所以f(x)＝4x－3＋x＝4x－3＋(x－3)＋3＝－43－x＋（3－x）＋3≤－243－x·（3－x）＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时取等号，所以f(x)的最大值为－1.(2)因为x，y∈R＋，所以(x＋y)1x＋3y＝4＋yx＋3xy≥4＋23.当且仅当yx＝3xy，即x＝2(3－1)，y＝2(3－3)时取“＝”号．又x＋y＝4，所以1x＋3y≥1＋32，故1x＋3y的最小值为1＋32.10．(1)设a＞b＞c，且1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，求m的取值范围．(2)记F(x，y)＝x＋y－a(x＋22xy)，x，y∈(0，＋∞)．若对任意的x，y∈(0，＋∞)，恒有F(x，y)≥0，请求出a的取值范围．解：(1)由a＞b＞c，知a－b＞0，a－c＞0.所以原不等式等价于a－ca－b＋a－cb－c≥m.要使原不等式恒成立，只需a－ca－b＋a－cb－c的最小值不小于m即可．因为a－ca－b＋a－cb－c＝（a－b）＋（b－c）a－b＋（a－b）＋（b－c）b－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2b－ca－b·a－bb－c＝4.当且仅当b－ca－b＝a－bb－c，即2b＝a＋c时，等号成立，所以m≤4，即m∈(－∞，4]．(2)由F(x，y)≥0，得x＋y≥a(x＋22xy)．因为x＞0，y＞0，所以a≤x＋yx＋22xy.所以a≤x＋yx＋22xymin.因为22xy≤x＋2y，所以x＋yx＋22xy≥x＋yx＋（x＋2y）＝12，当且仅当x＝2y＞0时，等号成立．所以a∈－∞，12.
