2.1.8圆锥曲线与方程（学案）一、知识梳理1、平面内与两个定点1F，2F的（大于12FF）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121FFaaMFMF。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122FFccab对称性关于x轴、y轴、原点对称离心率3、平面内与两个定点1F，2F的（小于12FF）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121FFaaMFMF。这两个定点称为双曲线的焦点，称为双曲线的焦距．4、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围xa或xa，yRya或ya，xR顶点轴长焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率渐近线方程5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．6、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．7、抛物线的几何性质：标准方程22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p图形顶点0,0对称轴x轴y轴焦点准线方程离心率1e范围0x0x0y0y8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．二、典例解析探究点一直线与圆锥曲线的位置关系判断例1、已知直线l：kx－y＋2－k＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时，(1)l与C无公共点；(2)l与C有唯一公共点；(3)l与C有两个不同的公共点．总结：判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，若Δ＞0，则直线l与曲线C相交；若Δ＝0，则直线l与曲线C相切；若Δ＜0，则直线l与曲线C相离．(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点．此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴．(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．探究点二相交弦长问题例2、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y＝x＋1与椭圆交于P，Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|＝102，求椭圆的方程．总结：若直线l与圆锥曲线F(x，y)＝0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)不求交点坐标，可用一元二次方程根与系数的关系求解．设直线方程为y＝kx＋m，与圆锥曲线F(x，y)＝0交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(x1－x2)2＋(kx1＋m－kx2－m)2＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2；或当k≠0时，|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2.当k＝0时，直线平行于x轴，∴|AB|＝|x1－x2|.探究三中点弦问题例3、已知椭圆x216＋y24＝1，求：(1)以P(2，－1)为中点的弦所在直线的方程；(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．总结：对中点弦问题，常用的解题方法——平方差法，其解题步骤为：(1)设点，即设出弦的两端点坐标；(2)代入，即代入圆锥曲线方程；(3)作差，即两式相减，然后用平方差公式把上式展开，整理．三、当堂检测1.已知双曲线22221xyab的一个焦点与抛物线24yx的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为（）A．225514yxB．22154xyC．22154yxD．224515yx2.双曲线12222byax的离心率为3，则它的渐近线方程是（）A．xy2B．xy22C．xy2D．xy213.以双曲线221124yx的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（）A．2216452xyB．2211612xyC．221164xyD．221416xy4．过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF则椭圆的离心率为（）A．22B．33C．12D．135．椭圆221259xy上一点M到左焦点1F的距离是2，N是1MF的中点，O为坐标原点，则ON．6.过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点F和虚轴端点B作一条直线，若右顶点A到直线FB的距离等于7b，则双曲线的离心率e7．抛物线yx22上与点)2,0(M距离最近的点的坐标是8．已知抛物线的顶点在原点，焦点为)0,3(F，设点)0,(aM与抛物线上的点的距离的最小值afd，求af的表达式。
