人教A版高中数学高三一轮5两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案VIP专享VIP免费

高三一轮复习3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案【考纲传真】1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能利用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).【知识扫描】知识点三角恒等变换公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝tanα±tanβ1?tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.1．必会结论(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanα·tanβ)．(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.2．必清误区(1)利用辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)其中tanφ＝ba转化时，一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．(2)计算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，应先求ωx＋φ的范围，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α、β是任意的．()(2)存在实数α、β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(3)若α＋β＝45°，则tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.()(4)对任意角α都有1＋sinα＝sinα2＋cosα22.()2．sin18°cos27°＋cos18°sin27°的值是()A.22B.12C.32D．－223．已知tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．64．tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°＝________.5．在斜三角形ABC中，sinA＝－2cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－2，则角A的值为()A.π4B.π3C.π2D.3π46.设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．规范解答3．三角恒等变换在研究函数中的应用(12分)(2014·山东高考)已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点π12，3和点2π3，－2.(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．【规范解答】(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.因为y＝f(x)的图象过点π12，3和2π3，－2，所以3＝msinπ6＋ncosπ6，－2＝msin4π3＋ncos4π3，2分即3＝12m＋32n，－2＝－32m－12n，解得m＝3，n＝1.5分(2)由(1)知f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.6分由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin2x＋2φ＋π6.设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x20＋1＝1，所以x0＝0，8分即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y＝g(x)得sin2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，10分因为g(x)＝2sin2x＋π2＝2cos2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－π2≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y＝g(x)的单调递增区间为kπ－π2，kπ，k∈Z.12分【解题程序】第一步：利用数量积与三角变换求f(x)；第二步：根据条件，构建关于m、n的方程，求m、n的值；第三步：利用图象的平移变换确定函数g(x)；第四步：根据最值条件求φ的值；第五步：利用三角函数的性质求出函数g(x)的递增区间．【智慧心语】易错提示：(1)记错数量积坐标运算公式或方程求解能力差，导致错求m，n.(2)弄错图象平移变换的方向与单位长度，误得g(x)＝2sin2x＋φ＋π6或g(x)＝2sin2x－2φ＋π6；信息提取能力差，不能根据条件准确求出φ值，导致错求g(x)的递增区间．防范措施：(1)熟记基本概念与三角变换公式，平时加强基本训练，善于捕捉条件信息，准确进行文字语言与数学语言转化，提高方程求解能力．(2)函数图象变换的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω确定...