第八章平面解析几何8.7抛物线考向归纳考向1抛物线的准线方程及几何性质1.已知抛物线的焦点在x轴上，其上一点P(－3，m)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x【解析】依题意得，p2－(－3)＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为y2＝－8x.故选B.【答案】B2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x【解析】由已知得抛物线的焦点Fp2，0，设点A(0,2)，点M(x0，y0)，则AF→＝p2，－2，AM→＝y202p，y0－2.由已知得，AF→·AM→＝0，即y20－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M8p，4.由|MF|＝5，得8p－p22＋16＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8.故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.【答案】C3．(2014·湖南高考)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则ba＝________.【解析】 正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，∴Ca2，－a，Fa2＋b，b.又 点C，F在抛物线y2＝2px(p>0)上，∴a2＝pa，b2＝2pa2＋b，解得ba＝2＋1.【答案】2＋11．抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．2．求抛物线的标准方程的方法及流程(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．考向2抛物线的定义及应用●命题角度1到焦点的距离与到准线的距离的转化1．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．4B．2C．1D．8【解析】如图，F14，0，过A作AA′⊥准线l，∴|AF|＝|AA′|，∴54x0＝x0＋p2＝x0＋14，∴x0＝1.【答案】C●命题角度2到焦点与定点距离之和最小问题2．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．【解】 (－2)2<8×4，∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.由抛物线的定义可知|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|. A(－2,4)，∴不妨设|PF|＋|PA|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12.故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为－2，12.●命题角度3到点(线)与准线的距离之和最小问题3．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()A.522＋2B.522＋1C.522－2D.522－1【解析】设抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则d1＝|PF|－1，d1＋d2＝d2＋|PF|－1，点F到直线l的距离d＝|1＋4|2＝522.则d1＋d2≥522－1，故选D.【答案】D与抛物线有关的最值问题的求解策略与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．考向3直线与抛物线的综合问题(1)(2014·辽宁高考)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.43(2)(2015·福建高考)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.①求抛物线E的方程；②已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．【解析】(1)抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－p2，而点A(－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0)．设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得k8y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)①，由于Δ＝1－4×k8(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝12.因为切点在第一象限，所以k＝12.将k＝12代入①中，得y＝8，再代入y2...
