曲线的渐近线VIP专享VIP免费

*一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘第七节函数图形的描绘那么y=b就是y=f(x)的一条水平渐近线.定义当曲线y=f(x)上的一动点M沿着曲线移向无穷远时,点M到一定直线L的距离趋向于零，那么直线L就称为曲线y=f(x)的一条渐近线.一、曲线的渐近线2.垂直渐近线0lim(),xxfx如果那么x=x0就是y=f(x)的一条垂直渐近线.1.水平渐近线lim(),xfxC如果3.斜渐近线设M(x,f(x))是曲线y=f(x)上的任一点，它到直线y=ax+b(a0)的距离为2|()|(),1axbfxdxalim()0,xdx令得lim[()]0.xaxbfx因此，斜渐近线定义如下：则直线y=ax+b是曲线y=f(x)的一条斜渐近线，此时lim[()()]0(0),xfxaxba若()limlim[()].xxfxabfxaxx，()lim[]0,xfxbxaxx所以有()lim,xfxax再将此结果代回lim[()]0xaxbfx之中，得lim[()].xbfxax得lim[()]0,xaxbfx由例1求下列函数曲线的渐近线：1(2);1yx解(1)11lim,1xx直线x=1是曲线的垂直渐近线.1lim0,1xx直线y=0是曲线的水平渐近线.22(1);xyxe2(3).1xyxx22lim0,xxxe直线y=0是曲线的水平渐近线.(2)(3)21limlim(1)1,1xxyxx2lim()lim0,1xxxyxxy=x是斜渐近线.3.7.2函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形的一般步骤：第一步：确定函数的定义域、奇偶性、周期性以及间断点和不可导点；第二步：通过考察一阶导数的符号确定升降区间以及极值；第三步：通过考察二阶导数的符号确定凹凸区间以及拐点；第四步：求曲线的渐近线；第五步：求出重要点的坐标,描点作图形.例2描绘曲线y=xe-x.解函数非奇非偶函数,且无对称性，D:(-，+),)1(xexy,1x得驻点,0limxxxe,)2(xexy,0y令.2x得y=0水平渐近线.x)1,()2,1(1),2(yy0y2拐点极大列表确定函数的性态:0,11ey）（极大),2,2(2e拐点取点(-1，-e))3,3(3e12e1xyo.)1()(23的图形xxxf例3描绘解函数的定义域为D:(-，-1)(-1，+),)1()3()(32xxxxf,30xx，得驻点,0)1(4)(4xxxf令，得0xx=-1是垂直渐近线，,1)1(lim)(lim23xxxxxfxx,2)1()1(lim))((lim223xxxxxxxfxx故直线y=x-2为斜渐近线.列表确定函数的性态:x)3,(),0()1,3(3)0,1()(xf)(xf0)(xf10拐点极大间断点xyo22134271x2xy00例4.1)(23的图形作函数xxxxf解),,(:D无奇偶性及周期性.),1)(13()(xxxf).13(2)(xxf,0)(xf令.1,31xx得驻点,0)(xf令.31x得特殊点:补充点),0,1(A),1,0(B).85,23(C列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:x)31,(),1()31,31(31)1,31(0311拐点极大值2732)2716,31(0)(xf)(xf)(xf极小值0xyo)0,1(A)1,0(B)85,23(C1131310