第12讲变化率与导数、导数的计算一、选择题1．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.D．ln2解析：∵f′(x)＝lnx＋1，∴f′(x0)＝lnx0＋1＝2，∴lnx0＝1，∴x0＝e.答案：B2．(·福建厦门)已知f(x)＝sinx＋lnx，则f′(1)的值为()A．1－cos1B．1＋cos1C．cos1－1D．－1－cos1解析：∵f′(x)＝cosx＋，∴f′(1)＝cos1＋1.答案：B3．曲线y＝x＋lnx在点(e2，e2＋2)处的切线在y轴上的截距为()A．1B．－1C．e2D．－e2解析：因为y′＝1＋，所以曲线在点(e2，e2＋2)处的切线的斜率为k＝1＋，切线方程为y－e2－2＝(x－e2)，即y＝x＋1，令x＝0，得y＝1，故应选A.答案：A4．(·辽宁卷)曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1解析：y′＝′＝＝，∴y′|x＝1＝－2.故由点斜式得所求切线方程为：y＝－2x＋1.答案：D二、填空题5．曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是________．解析：两曲线方程联立得解得∵y′＝－，∴k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2.∴两切线方程为x+y-2=0，2x-y-1=0.所围成图形如右图所示，∴S＝×1×＝.答案：6．(·盐城调研)已知曲线C：y＝lnx－4x与直线x＝1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是________．解析：由已知得y′＝－4，所以当x＝1时有y′＝－3，即过点P的切线的斜率k＝－3，又y＝ln1－4＝－4，故切点P(1，－4)，所以点P处的切线方程为y＋4＝－3(x－1)，即3x＋y＋1＝0.答案：3x＋y＋1＝07．(·福建卷)若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：∵f′(x)＝2ax＋，由题意得2ax＋＝0(x＞0)有实根，∴a＝－＜0.答案：(－∞，0)三、解答题8．(·大连模拟)已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求函数y＝f(x)的解析式．解：由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2，f′(－1)＝－.∵f′(x)＝，∴即解得a＝2，b＝3(∵b＋1≠0，b＝－1舍去)．所以所求的函数解析式是f(x)＝.9．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．解：直线l过原点，则k＝(x0≠0)．由点(x0，y0)在曲线C上，则y0＝x－3x＋2x0，∴＝x－3x0＋2，又y′＝3x2－6x＋2，∴在(x0，y0)处曲线C的切线斜率应为k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2.∴x－3x0＋2＝3x－6x0＋2整理得2x－3x0＝0，解得x0＝(因为x0≠0)．这时，y0＝－，k＝－，因此，直线l的方程为y＝－x，切点坐标是.10．(·临沂调研)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.1．(·安徽卷)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是()A．[－2,2]B．[，]C．[，2]D．[，2]解析：∵f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin.∵θ∈，∴θ＋∈，∴sin∈.答案：D2．(★★★★)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a、b、c是两两不等的常数)，则＋＋＝________.解析：∵f(x)＝x3－(a＋b＋c)x2＋(ab＋bc＋ca)x－abc，∴f′(x)＝3x2－2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca，∴f′(a)＝(a－b)(a－c)∴f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)∴＋＋＝＋＋＝＝0.答案：0
