第13讲导数的应用一、选择题1．(·广东卷)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析：函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝1·ex＋(x－3)·ex＝(x－2)·ex，由函数导数与函数单调性关系得：当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·ex＞0解得：x＞2.答案：D2．(·安徽名校联考一)设函数f(x)＝ax3－x2(a＞0)在(0,2)上不单调，则a的取值范围是()A．a＞1B．0＜a＜1C．0＜a＜D.＜a＜1解析：由题意得f′(x)＝ax2－2x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，易得f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减．要使函数f(x)在(0,2)上不单调，则只要＜2即可，即当a＞1时，f(x)在(0,2)上不单调．答案：A3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．－1
6D．a<－1或a>2解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，令f′(x)＝0，要使函数f(x)有极大值和极小值，则Δ＝4a2－4×3(a＋6)＝4(a2－3a－18)>0，∴a<－3或a>6.答案：C4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()A．－5B．－11C．－29D．－37解析：由f′(x)＝6x2－12x>0得x<0或x>2，由f′(x)<0得00，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点．当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±.当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．9．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h＝＝(4.5－3x)(m)，故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)(m3).从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，因此x＝1，当00；当1
