振动理论北京大学力学系陈永强1目录第7章二自由度系统..........................................................................................................17.1自由振动和固有频率..............................................................................................17.2二自由度系统的基本概念......................................................................................87.3二自由度无阻尼受迫振动......................................................................................97.3.1振动微分方程和固有频率............................................................................97.3.2振幅比..........................................................................................................107.4动力吸振器............................................................................................................107.5阻尼吸振器............................................................................................................157.6船舶的稳定............................................................................................................197.7汽车的减振............................................................................................................227.8参考书....................................................................................................................257.9习题........................................................................................................................25第7章二自由度系统7.1自由振动和固有频率前面我们讨论了具有粘性阻尼的单自由度系统的振动理论。所讨论的理想系统在实际中是比较少见的，但是有很多实际情形是很接近理想情形的，因此，理论上的结论就具有实际上的重要性。单自由度系统的理论能够解释共振现象，计算结构固有频率，以及解释大多数振动测量仪器的作用和原理，并用于讨论隔振和避振，等等。为了解释更复杂的现象，必须建立更复杂的理论。下面先讲几个二自由度系统自由振动的例子，然后再介绍系统建立二自由度/多自由度系统的概念和方法。图7.1用弹簧耦合的无阻尼二自由度系统振动理论北京大学力学系陈永强2最一般的无阻尼二自由度系统可以简化为图7.1所示的系统，包含弹簧�和�以及两个质量�和�；然后用一根耦合弹簧�把两个质量联系起来。假定两个质量只能沿竖直方向运动。很明显，这是二自由度系统，因为两个弹簧可以独立运动。一旦知道两个质量的位置�和�就能完全确定系统的构形。与单自由度中情形类似，在二自由度系统中，也有与图7.1完全等价的扭转振动和电磁振荡现象。现在考虑二自由度自由振动的计算。注意到有两个不同的力作用在质量�上，即主弹簧�和耦合弹簧�的弹力。主弹簧的力为��,方向向下（�方向），耦合弹簧的缩短�,因此其压缩力为���.处于压缩状态的耦合弹簧向上推动�，因此其弹性力取负号。这是两个作用在质量�的有形的力，再加上惯性力，其运动方程为�������(7.1)或�������(7.2)同样，考虑第二个质量上的受力和平衡，有�������(7.3)假定两个质量都做谐振动，具有相同的未知频率和不同的未知振幅1a和2a��sin��sin(7.4)这只是个猜测，还不知道假设的这两个运动是不是可能的。代入微分方程(7.2)、(7.3)进行检验，有��������(7.5)��������(7.6)上面方程必须在任意时刻都成立。上面两个方程表示两个正弦波，为使其在所有的时刻均为零，括号里面的振幅必须为零，����������������(7.7)上面方程有非零解的条件为�和�的系数行列式为零2113323223()0()mkkkkmkk(7.8)上式展开后是�的二次方程，即为频率方程，或称特征方程。�有两个根，称为特征值，确定了系统的两个固有频率。现在从另一个角度考虑这一问题。注意到如果假...
