3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示双基达标限时20分钟1．有以下命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c，也是空间的一个基底．其中正确的命题序号是________．解析对于①“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的关系一定共线”所以①错误；②③正确．答案②③2.如图所示，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{AB，AC，AD}为基底，则CE＝________.解析∵G为△ABC的重心，∴AG＝AM＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，∵BE＝3ED∴BE＝BD＝(AD－AB)AE＝AB＋BE＝AB＋(AD－AB)＝AB＋AD，故GE＝AE－AG＝AB＋AD－(AB＋AC)＝－AB－AC＋AD答案－AB－AC＋AD3.已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量OA，OB，OC表示向量OG为________．解析OG＝OM＋MG＝OM＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋[(OB＋OC)－OA]＝OA＋(OB＋OC)－OA＝OA＋OB＋OC.答案OA＋OB＋OC4．已知a＝{3λ，6，λ＋6}，b＝{λ＋1，3，2λ}，若a∥b，则λ＝________.解析由a∥b，得＝＝，解得λ＝2.答案25．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，若ka＋b与2a－b平行，则实数k＝________.解析计算得ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，由ka＋b与2a－b平行得＝＝，解得k＝－2.答案－26．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD.建立适当坐标系求MN的坐标．解设AD＝i，AB＝j，AP＝k，以i，j，k为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN＝MA＋AP＋PN①MN＝MB＋BC＋CN②又∵M、N分别为AB、PC的中点由①＋②得2MN＝AP＋BC＝k＋i，∴MN＝(k＋i)＝i＋k，∴MN＝.综合提高（限时25分钟）7．在△ABC中，A(2，－5，3)，AB＝(4，1，2)，BC＝(3，－2，5)，则顶点B、C的坐标分别为________．解析由A(2，－5，3)，AB＝(4，1，2)，解得B(6，－4，5)，再由BC＝(3，－2，5)，解得C(9，－6，10)．答案B(6，－4，5)，C(9，－6，10)8.如图，点M为OA的中点，以{OA，OC，OD}为基底，DM＝xOA＋yOC＋zOD，则实数对(x，y，z)＝________.解析DM＝OM－OD＝OA＋0OC－OD，所以实数对(x，y，z)＝(，0，－1)．答案(，0，－1)9．已知a＝2(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ的值为________．解析有共面向量定理知存在实数x，y使得a＝xb＋yc，即(4，－2，6)＝(－x，4x，－2x)＋(7y，5y，λy)，即，解得答案10．设点C(2a＋1，a＋1，3)在点P(2，0，0)，A(1，－3，2)，B(8，－1，4)确定的平面上，则实数a的值为________．解析PA＝(－1，－3，2)，PB＝(6，－1，4)，根据共面向量定理，可设PC＝xPA＋yPB(x，y∈R)，则(2a－1，a＋1，3)＝x(－1，－3，2)＋y(6，－1，4)，即解得即实数a的值是.答案11．已知O，A，B，C四点的坐标分别是(0，0，0)，(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求P点坐标，分别满足：(1)OP＝(AB－AC)；(2)AP＝(AB－AC)．解AB＝OB－OA＝(2，6，－3)，AC＝OC－OA＝(－4，3，1)．(1)设P点坐标为(x，y，z)，则OP＝(x，y，z)，(AB－AC)＝(3，，－2)，所以OP＝(3，，－2)，即P点坐标为(3，，－2)；(2)设P点坐标为(x，y，z)，则AP＝OP－OA＝(x－2，y＋1，z－2)，(AB－AC)＝(3，，－2)，所以解得所以P点坐标为(5，，0)．12．如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用向量a、b、c表示向量GH.解GH＝OH－OG，∵OH＝OD，∴OH＝×(OB＋OC)＝(b＋c)，OG＝OA＋AG＝OA＋AD＝OA＋(OD－OA)＝OA＋×(OB＋OC)＝a＋(b＋c)，∴GH＝(b＋c)－a－(b＋c)＝－a，即GH＝－a.13．(创新拓展)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：A1O－AB－AD；(2)设E是棱DD1上的点且DE＝DD1，若EO＝xAB＋yAD＋zAA1，试求x、y、z的值．解(1)∵AB＋AD＝AC，∴A1O－AB－AD＝A1O－(AB＋AD)＝A1O－AC＝A1O－AO＝A1A.(2)∵EO＝ED＋DO＝D1D＋DB＝D1D＋(DA＋AB)＝A1A＋DA＋AB＝AB－AD－AA1.即：x＝，y＝－，z＝－.
