第三讲平面向量一、选择题1．(·安徽，3)设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝C．a－b与b垂直D．a∥b解析：，A项，∵|a|＝1，|b|＝＝，∴|a|≠|b|；B项，∵a·b＝1×＋0×＝；C项，∵a－b＝(1,0)－＝，∴(a－b)·b＝·＝－＝0；D项，∵1×－0×≠0，∴a不平行b.故选C.答案：C2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为()A．0B.C.D.解析：∵a·c＝a·＝a·a－a·b＝a2－a2＝0，又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故选D.答案：D3．(·全国Ⅱ)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB＝a，CA＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：由角平分线的性质得|AD|＝2|DB|，即有AD＝AB＝(CB－CA)＝(a－b)．从而CD＋AD＝b＋(a－b)＝a＋b.故选B.答案：B4．（·辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设OA＝a，OB＝b，则△OAB的面积等于()A.B.C.D.解析：∵cos〈a，b〉＝，∴sin〈a，b〉＝＝＝，∴S△OAB＝|OA|OB|sin〈OA，OB〉＝|a||b|sin〈a，b〉，＝，故选C.答案：C5．若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a≠±b，则a与b一定满足()A．a与b的夹角等于α－βB．a⊥bC．a∥bD．(a＋b)⊥(a－b)解析：∵a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)，a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，∴(a＋b)·(a－b)＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝1－1＝0，可知(a＋b)⊥(a－b)．答案：D二、填空题6．(·陕西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.解析：a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，∴a＋b＝(1，m－1)，(a＋b)∥c，∴2＋m－1＝0，∴m＝－1.答案：－17．(·江西)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.解析：|a－b|＝＝＝＝.答案：8．(·浙江)已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．解析：如图，数形结合知β=AB，α＝AC，|AB|＝1，C点在圆弧上运动，∠ACB＝60°，设∠ABC＝θ，由正弦定理知＝，∴|α|＝sinθ≤，当θ＝90°时取最大值．∴|α|∈.答案：9．得(x，y)＝(2m，－m)＋(－n，n)，于是由2m2－n2＝2，消去m、n得M的轨迹方程为x2－2y2＝2.答案：x2－2y2＝2三、解答题10．3cosγ＋4cosβ＝－5，①同理可得，4cosα＋5cosγ＝－3，②3cosα＋5cosβ＝－4.③解①②③联立方程组可得，cosα＝0，cosβ＝－，cosγ＝－，即OA·OB＝0，OB·OC＝－，OC·OA＝－.(2)由(1)知sinα＝1，sinβ＝，sinγ＝.如右图，S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA＝×1×1＋×1×1×＋×1×1×＝.11．已知向量a＝，b＝，且x∈，求：(1)a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．解：(1)a·b＝cos·cos－sin·sin＝cos2x.|a＋b|＝＝＝2.∵x∈，∴cosx≥0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)f(x)＝cos2x－4λcosx即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.∵x∈，∴0≤cosx≤1.①当λ<0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾．②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－，解得λ＝.③当λ>1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1相矛盾．综上所述，λ＝即为所求．∴x1x2＋(x1x2)2＝0(x1x2≠0)．∴x1x2＝－4.∴MA＝，MB＝.∵x1－x2＝(x1－x2)＝0，∴MA∥MB，即AM∥AB.(2)解：∵MA＝－2MB，∴∴－2x＋2＝x－4，∴x2＝±.∴B(，－1)或(－，－1)，∴kAB＝或－.∴AB的方程为y＝±x－2.
