高三数学一轮复习 第4单元 4.6 正弦定理和余弦定理随堂训练 理 新人教B版VIP免费

4.6正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则的值为()A.B.C.D.解析：∵S△ABC＝，即bcsinA＝，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，∴a＝，∴＝＝＝.答案：B2．在△ABC中，已知∠B＝45°，c＝2，b＝，则∠A等于()A．15°B．75°C．105°D．75°或15°解析：根据正弦定理＝，sinC＝＝＝.∴C＝60°或C＝120°，因此A＝75°或A＝15°.答案：D3．在△ABC中，设命题p：＝＝，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若△ABC是等边三角形，则＝＝；若＝＝，又＝＝，则即a＝b＝c.∴p是q的充要条件．答案：C4．若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是()A．(1,2)B．(2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(3，＋∞)解析：设△ABC三内角为A、B、C，其对边为a、b、c，且A2.答案：B二、填空题5．在△ABC中，sinA＋cosA＝，则＝________.解析：由已知2sinAcosA＝－，∴cosA＜0，即A为钝角，∴(sinA－cosA)2＝，∴sinA－cosA＝，则sinA＝，cosA＝－.原式＝.答案：6．在△ABC中，∠C＝60°，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则＋＝________.解析：因为∠C＝60°，所以a2＋b2＝c2＋ab，所以(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(c＋a)，所以＋＝1，故填1.答案：17．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________，△ABC为________．解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA＝＝＝，∴∠A＝60°.由b2＝ac，即a＝，代入a2－c2＝ac－bc整理得(b－c)(b3＋c3＋cb2)＝0，∴b＝c.则△ABC为正三角形．答案：60°正三角形三、解答题8．(·湖南)在△ABC中，已知，求角A、B、C的大小．解答：设△ABC三内角A、B、C的对边分别为a，b，c，由，得由①cosA＝，又0°＜A＜180°，则A＝30°，根据余弦定理cosA＝，即＝，③②代入③整理得b2－4bc＋c2＝0，则b＝，解得b＝c，或c＝b.当b＝c时，c＝a，则C＝A＝30°，B＝180°－(A＋C)＝120°；当c＝b时，b＝a，则B＝A＝30°，C＝180°－(A＋B)＝120°.综上可知：A＝C＝30°，B＝120°或者A＝B＝30°，C＝120°.9．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．解答：如图，连结BD，则有四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BCD＝AB·ADsinA＋BC·CDsinC.∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC．∴S＝(AB·AD＋BC·CD)sinA＝(2×4＋6×4)sinA＝16sinA.由余弦定理，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA.在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC＝62＋42－2×6×4cosC＝52－48cosC.∵20－16cosA＝52－48cosC，∵cosC＝－cosA，∴64cosA＝－32，cosA＝－，∴A＝120°，S＝16sin120°＝8.10．在△ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为，求△ABC的最大角．解答：解法一：设最大边为a，最小边为c，边a、c所对角为A、C，则＝，由正弦定理＝，即sinA＝sinC.又sinA＝sin[180°－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝cosC＋sinC，∴sinC＝cosC＋sinC，即sinC＝cosC．又0°＜C＜180°，∴C＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.解法二：设最大边长为a，最小边长为c，则＝，由＝，则b2＝a2＋c2－ac.cosC＝＝＝＝.又0°＜C＜180°，∴C＝45°，则A＝180°－(B＋C)＝75°.1．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，a＝2，tan＋tan＝4,2sinBcosC＝sinA，求A，B及b，c.解答：由tan＋tan＝4得cot＋tan＝4，∴＋＝4，∴＝4.∴sinC＝，又C∈(0，π)，∴C＝，或C＝，由2sinBcosC＝sinA得2sinBcosC＝sin(B＋C)，即sin(B－C)＝0，∴B＝C，B＝C＝，A＝π－(B＋C)＝，由正弦定理＝＝得b＝c＝a＝2×＝2.2．如下图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1)证明sinα＋cos2β＝0；(2)若AC＝DC，求β的值．解答：(1)证明：∵AB＝AD，则∠ADB＝β，∴∠C＝β－α.又∠B＋∠C＝90°，即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α，cos2β＝－sinα，即cos2β＋sinα＝0.①(2)在△ADC中，＝，即sinβ＝sinα.②①代入②整理得：2sin2β－sinβ－＝0.解得sinβ＝，或sinβ＝－舍去，又β为锐角，则β＝60°.