第2讲等差数列及其前n项和一、选择题1．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A.B．±C．－D．－解析：由题意可得：3a7＝4π，a7＝，tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan＝tan＝－.答案：D2．(·福建福州模拟)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8解析：因为a1＋2a8＋a15＝96，所以4a8＝96，a8＝24.又因为2a9＝a10＋a8，所以2a9－a10＝a8＝24.答案：A3．(·广东深圳调研)等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1,2,3，…)，若当首项a1和公差d变化时，a5＋a8＋a11是一个定值，则下列选项中为定值的是()A．S17B．S18C．S15D．S16解析：因为a5＋a8＋a11＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＋(a1＋10d)＝3(a1＋7d)为定值，所以S15＝＝15(a1＋7d)为定值．答案：C4．(·创新题)等差数列{an}中有两项am和ak满足am＝，ak＝，则该数列前mk项之和是()A.B.C.D.解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d.则有，解得，所以Smk＝(a1＋amk)＝＝.答案：B二、填空题5．(·江苏南京调研)在等差数列{an}中，已知a1＝1，S5＝35，则a8＝________.解析：由S5＝＝5a3＝35，∴a3＝7，∴d＝＝＝3，故a8＝a1＋7d＝22.答案：226．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3≤3，S4≥10，则a4的最大值为________．解析：依题意有a1＋2d≤3，且4a1＋d≥10，即2a1＋3d≥5.因为a4＝a1＋3d＝－(2a1＋3d)＋3(a1＋2d)≤－5＋3×3＝4，因此a4的最大值为4.答案：47．(·模拟精选)等差数列的前n项和为Sn，若S7－S3＝8，则S10＝________；一般地，若Sn－Sm＝a(n>m)，则Sn＋m＝________.解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则＝＝＝⇒S10＝20；同理＝＝＝⇒Sn＋m＝·a.答案：20·a三、解答题8．已知数列{an}的前n项和为Sn，判断满足下列条件的数列是否是等差数列：(1)Sn＝n2；(2)Sn＝n2＋n＋1.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，∴an＝2n－1，(n∈N*)．又an＋1－an＝(2n＋1)－(2n－1)＝2，因此{an}成等差数列．(2)当n＝1时，a1＝S1＝3，当n＝2时，S2＝7，a2＝S2－S1＝4，当n＝3时，S3＝13，a3＝S3－S2＝6，∵a2－a1≠a3－a2.因此数列{an}不是等差数列．9．(·辽宁沈阳检测)已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值．解：(1)设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1＝3，d＝－2，所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.(2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2时，Sn取最大值4.10．(·江苏卷)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．解：(1)设公差为d，则a－a＝a－a.由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0.所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0，又由S7＝7得7a1＋d＝7.解得a1＝－5，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.(2)＝.令2m－3＝t，则＝＝t＋－6，因为t是奇数，所以t可取的值为±1，当t＝1，m＝2时，t＋－6＝3,2×5－7＝3是数列{an}中的项：t＝－1，m＝1时，t＋－6＝－15，数列{an}中的最小项是－5不符合．所以满足条件的正整数m＝2.1．(·创新题)若动点P的横坐标x、纵坐标y使得lgy，lg|x|，lg成等差数列，则点P所表示的图形是()解析：由题意可知2lg|x|＝lgy＋lg，即x2＝y，整理得2x2＝y2－xy，化简可知(2x－y)(x＋y)＝0，即2x－y＝0或x＋y＝0，且满足答案：C2．(★★★★)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．解析：由a4－a2＝8，可得公差d＝4，再由a3＋a5＝26，可得a1＝1.故Sn＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，∴Tn＝＝2－，要使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，只需M≥2即可，故M的最小值为2.答案：2
