专题达标检测四一、选择题1．(·山东潍坊)直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是()A.∪B.∪C.D.解析：由直线xcosα＋y＋2＝0，所以直线的斜率为k＝－.设直线的倾斜角为β，则tanβ＝－.≤≤≤又因为－－，即－tanβ≤，所以β∈∪.答案：B2．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.解析：由题意知，圆心到直线的距离d应满足0≤d≤，d＝≤⇒a2＋b2＋4ab≤0.显然b≠0，两边同除以b2，得2＋4＋1≤0，解得－2≤≤－－2＋.k＝－，k∈[2－，2＋]，θ∈，故选B.答案：B3．(·陕西)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A.B．1C．2D．4解析：圆x2＋y2－6x－7＝0的圆心坐标为(3,0)，半径为4.y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，∴3＋＝4，∴p＝2.故选C.答案：CA．0B．2C．4D．－2解析：易知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．此时，F1(－，0)，F2(，0)，P(0,1)，∴PF1＝(－，－1)，PF2＝(3－x0，－y0)，∴PF1·PF2＝－2.答案：D5．已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是()A．4＋2B.－1C.D.＋1解析：设正三角形MF1F2的边MF1的中点为H，则M(0，c)，F1(－c,0)．所以H，H点在双曲线上，故－＝1，化简e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4＋2，所以e＝＋1.答案：D答案：D二、填空题7．(·辽宁沈阳)若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)且与经过点(－2,1)，斜率为－的直线垂直，则实数a的值为________．解析：由于直线l与经过点(－2,1)且斜率为－的直线垂直，可知a－2≠－a－2. kl＝＝－，∴－·＝－1，∴a＝－.答案：－8．若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．解析：由题意可列式＝，解得p＝4.答案：49．(·上海)圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.解析： x2＋y2－2x－4y＋4＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝1.圆心(1,2)到3x＋4y＋4＝0的距离为d＝＝3.答案：310．(·湖南)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．解析：如图，由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，又OA＝a，OF＝c，∴＝＝cos60°＝，∴＝2.答案：2三、解答题11．(·宁夏银川)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0. 当直线不经过原点时，由截距存在且均不为0，∴＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.(2)解法一：将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴或∴a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.解法二：将l的方程化为(x＋y＋2)＋a(x－1)＝0(a∈R)．它表示过l1：x＋y＋2＝0与l2：x－1＝0的交点(1，－3)的直线系(不包括x＝1)．由图象可知l的斜率为－(a＋1)≥0，即当a≤－1时，直线l不经过第二象限．12．P为椭圆＋＝1上任意一点，F1、F2为左、右焦点，如图所示．(1)若PF1的中点为M，求证：|MO|＝5－|PF1|；(2)若∠F1PF2＝60°，求|PF1|·|PF2|之值；(3)椭圆上是否存在点P，使PF1·PF2＝0，若存在，求出P点的坐标，若不存在，试说明理由．(1)证明：在△F1PF2中，MO为中位线，∴|MO|＝＝＝a－＝5－|PF1|.(2)解： |PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|2＋|PF2|2＝100－2|PF1|·|PF2|，在△PF1F2中，cos60°＝，∴|PF1|·|PF2|＝100－2|PF1|·|PF2|－36，∴|PF1|·|PF2|＝.(3)解：设点P(x0，y0)，则＋＝1.①易知F1（-3，0），F2（3，0），故PF1＝(－3－x0，－y0)，PF2＝(－3－x0，－y0)， PF1·PF2=0，∴x－9＋y＝0，②由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在．(2)设△AMB的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．(1)证明：由已知条件，得F(0,1)，λ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF＝λFB，即得(－x1,1－y1)＝λ(x2，y2－1)，将①式两边平方并把y1＝x，...
