第二讲圆锥曲线的概念及性质一、选择题1．(·安徽)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.B.C.D．(，0)解析： 原方程可化为－＝1，a2＝1，b2＝，c2＝a2＋b2＝，∴右焦点为.答案：C2．(·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析： 渐近线方程是y＝x，∴＝.① 双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上，∴c＝6.②又c2＝a2＋b2，③由①②③知，a2＝9，b2＝27，此双曲线方程为－＝1.答案：B4．(·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．16解析：解法一：AF直线方程为：y＝－(x－2)，当x＝－2时，y＝4，∴A(－2,4)．当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6，∴P(6,4)，∴|PF|＝|PA|＝6－(－2)＝8.故选B.解法二： PA⊥l，∴PA∥x轴．又 ∠AFO＝60°，∴∠FAP＝60°，又由抛物线定义知PA＝PF，∴△PAF为等边三角形．又在Rt△AFF′中，FF′＝4，∴FA＝8，∴PA＝8.故选B.答案：B5．高8m和4m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：如图1，假设AB、CD分别为高4m、8m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝，从而PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得＝2化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．答案：A二、填空题解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．解析：F，则B，∴2p×＝1，解得p＝.∴B，因此B到该抛物线的准线的距离为＋＝.答案：8．(·北京)已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．解析： 椭圆＋＝1的焦点为(±4,0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，∴c＝4，＝2，c2＝a2＋b2，∴a＝2，b2＝12，∴双曲线方程为－＝1，∴渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.答案：(±4,0)x±y＝0即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e＝a－.又由|BF|＝2|FD|，得a＝2a－，整理得a2＝3c2，即e2＝，解得e＝.答案：三、解答题10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解：解法一：设椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1、F2，则由题意，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，∴a＝.在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝.在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.依题意知＝，∴b2＝.即椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.解法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，则|PF1|＝，|PF2|＝.由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，即a＝.由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴．故在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝，∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.11．(·湖北)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有FA·FB<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足－x＝1(x>0)，化简得y2＝4x(x>0)．(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)>0，于是①又FA＝(x1－1，y1)，FB＝(x2－1，y2)，FA·FB<0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0.②又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1<0⇔＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0，③由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2，④对任意实数t,4t2的...
