第三讲直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A．3B．2C．2D．4解析：设椭圆方程为＋＝1，将x＝－y－4代入整理得：4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，由Δ＝0可求a＝，则2a＝2.答案：C2．(·山东)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，令x＝0得：y＝－.∴×·＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.答案：B3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为()A．4B．8C．16D．32解析：∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线为x＝－2，∴K(－2,0)设A(x0，y0),过A点向准线作垂线AB，则B(－2，y0)．∵|AK|＝|AF|，又AF＝AB＝x0－(－2)＝x0＋2，∴由BK2＝AK2－AB2，得y＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2，解得A(2，±4)，∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8，故选B.答案：BA．1B.C.D．2解析：由e＝＝＝得a＝2b，a＝c，b＝.由，得(3＋12k2)y2＋6cky－k2c2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝①y1y2＝②由AF＝3FB得y1＝－3y2③联立①②③得k＝.答案：B5．(·安徽蚌埠)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.B.C.D.解析：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0，∴直线与双曲线右支有两个不同交点，解得－0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析：设直线AB的方程为y＝x－，A(x1，y1)，B(x2，y2)．把y＝x－代入y2＝2px整理得2＝2pxx2－3px＋＝0.则x1＋x2＝3p，|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.由已知条件4p＝8，p＝2.答案：2解析：由消去y得：(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＝1－x1，y2＝1－x2，∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝0，∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，∴－＋1＝0，∴a2＋b2＝2a2b2，又∵a>b>0，∴＋＝2.答案：2答案：2三、解答题10．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OP＋OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>.即k的取值范围为∪.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP＋OQ＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2③而A(,0),B(0,1)，AB＝(－，1)．所以OP+OQ与AB共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝.由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.②当k≠0时，可设l的方程y＝kx＋m(k≠0)，联立方程组消去y，整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.直线l和椭圆C有两个不同的交点．则Δ＝36k2m2－12(1＋3k2)(m2－1)>0，即1＋3k2－m2>0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0的两根，∴x1＋x2＝－，x1x2＝.则PQ中点N(x0，y0)的坐标为x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝，即N.又∵|AP|＝|AQ|，∴AN⊥PQ，∴k·kAN＝－1，即k·＝－1，∴m＝，代入1＋3k2－m2>0，得1＋3k2－2>0(k≠0)，∴k2<1，∴k∈(－1,0)∪(0,1)．综合①②，得k的取值范围是(－1,1)．(1)若|k|≤2，求离心率e的取值范围；(2)若|k|＝2，并且弦AB的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程．解：(1)直线l的方程为y＝k(x－c)，则点M(0，－ck)．∵点B分MF的比λ＝2，∴xB＝c，yB＝－.∴＋＝1，∴k2＝＝－＝4e2＋－13.∵k2≤24，∴4e4－37e2＋9≤0.≤解之e2≤1≤，也即e<1.(2)∵k＝2，∴e＝.∴a＝2c，b＝c.∴椭圆方程为＋＝1.将直线y＝2(x－c)代入椭圆方程得33x2－64cx＋28c2＝0.由韦达定理得x1＋x2＝，又右准线为x＝4c，∴弦AB中点到右准线距离为4c－，故4c－c＝，解得c＝2，从而a＝4，b＝2.∴椭圆方程为＋＝1.
