专题五立体几何第三讲空间向量与立体几何一、选择题1．以下命题中，不正确的命题个数为()A．0B．1C．2D．3解析：由向量的和运算知①正确． a，b，c为空间一个基底，则a，b，c为两两不共线的非零向量．不妨假设a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，即(1－y)a＋(1－x)b－(x＋y)c＝0. a、b、c两两不共线，∴，不存在实数x、y使假设成立，故②正确．③中若加入x＋y＋z＝1则结论正确，故③错误．答案：B2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：答案：A∴∠DBC是锐角．同理可证∠DCB，∠BDC都是锐角．∴△BCD是锐角三角形．答案：B4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则()A．EF至多与A1D、AC之一垂直B．EF是A1D、AC的公垂线C．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析：设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，答案：D5.(·山东烟台)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为()A.150°B．45°C．60°D．120°答案：C二、填空题答案：3a＋3b－5c7.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．,解析：以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A1(1,0,2)，B(0,1，0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，,8.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A—DE—B为45°，此时点A在平面BC－DE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所在角的大小等于________．答案：90°9.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．,解析：分别以C1B1、C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．, A1M＝AN＝a，,∴M，N，答案：平行三、解答题10.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD，E为垂足．(1)求证：BD⊥A1C；(2)求二面角A1－BD－C1的大小；(3)求异面直线AD与BC1所成角的余弦．解：(1)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， A1A⊥底面ABCD，∴AC是A1C在平面ABCD上的射影． BD⊥AC，∴BD⊥A1C.(2)如图所示，以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．连结A1E、C1E、A1C1，与(1)同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E.∴∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角；由A1(2,0，)，C1(0,2，)，E，11．(·山东，19)如图，在五棱锥P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥P－ACDE的体积．解：(1)证明：在△ABC中，因为∠ABC＝45°，BC＝4，AB＝2，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos45°＝8，因此AC＝2.故BC2＝AC2＋AB2，所以∠BAC＝90°.又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，所以CD⊥PA，CD⊥AC.又PA、AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC.(2)解法一：因为△PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2，因此PB＝＝4.又AB∥CD.所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离．由于CD⊥平面PAC，在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝2，所以PC＝4.故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离．所以B到平面PCD的距离为h＝2.设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，又θ∈，所以θ＝.解法二：由(1)知AB、AC、AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于△PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2，又AC＝2，因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0，0,2)，因为AC∥ED，CD⊥AC，所以四边形ACDE是直角梯形．因为AE＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC，所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°，故CD＝AE·sin45°＝2×＝，所以D(－，2，0)．因为CP＝(0，－2，2)，CD＝(－，0,0)，设m=（x，y，z）是平面PCD的一个法向...
