4.5.3利用坐标计算数量积双基达标(限时20分钟)1．若向量a，b的坐标满足a＋b＝(－2，－1)，a－b＝(4，－3)，则a·b＝()．A．7B．5C．－5D．－1解析将两已知等式相加得a＝(1，－2)，将两已知等式相减得b＝(－3，1)，∴a·b＝1×(－3)＋(－2)×1＝－5.故选C.答案C2．若a＝(2，－3)，b＝(x，2x)，且3a·b＝4，则x等于()．A．3B.C．－D．－3解析3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－.答案C3．已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，则m的值为()．A．2B．－2C．0D．－1解析∵a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)，又(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0.∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，∴m＝－2.答案B4．若a＝(2，3)，b＝(－1，－2)，c＝(2，1)，则(a·b)·c＝________，a·(b·c)＝________．解析a·b＝(2，3)·(－1，－2)＝－2＋(－6)＝－8.∴(a·b)·c＝－8(2，1)＝(－16，－8)，b·c＝(－1，－2)·(2，1)＝－2－2＝－4，a·(b·c)＝－4(2，3)＝(－8，－12)．答案(－16，－8)(－8，－12)5．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3，3)，2b－a＝(－1，1)，则cosθ＝________．解析设b＝(x，y)，则2b－a＝(2x，2y)－(3，3)＝(2x－3，2y－3)＝(－1，1)，∴2x－3＝－1，2y－3＝1得x＝1，y＝2，∴b＝(1，2)，则cosθ＝＝＝＝＝.答案6．如图，已知OA＝(3，1)，OB＝(－1，2)，OC⊥OB，BC∥OA，求OC的坐标．解设OC＝(x，y)，则BC＝OC－OB＝(x＋1，y－2)．∵OC⊥OB，∴－x＋2y＝0.①∵BC∥OA.∴x＋1－3(y－2)＝0，即x－3y＋7＝0.②联立①②解得x＝14，y＝7.故OC＝(14，7)．综合提高限时25分钟7．与向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量是()．A.B.或C.D.或解析法一代入验证，A、B、C、D模均为1，且|a|＝|b|，设向量e与a、b夹角相等，则a·e＝b·e，代入验证即可．法二设满足题意的向量为e＝(x，y)，则，联立可求．答案B8．平面上有三个点A(2，2)，M(1，3)，N(7，k)，若∠MAN＝90°，则k的值为()．A．6B．7C．8D．9解析因为AM＝(－1，1)，AN＝(5，k－2)，AM·AN＝0，所以－5＋(k－2)＝0，即k＝7.答案B9．若平面向量a、b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________．解析设a＝(x，y)，∵b＝(2，－1)，则a＋b＝(x＋2，y－1)，∵a＋b平行于x轴，∴y－1＝0，y＝1，故a＋b＝(x＋2，0)，又∵|a＋b|＝1，∴|x＋2|＝1，∴x＝－1或x＝－3，∴a＝(－1，1)或a＝(－3，1)．答案(－1，1)或(－3，1)10．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝________．解析法一设b＝(x，y)，|∵b|＝＝1，∴x2＋y2＝1.∵a·b＝x＋y＝，∴x2＋[(1－x)]2＝1.4∴x2－6x＋2＝0，∴2x2－3x＋1＝0，∴x1＝1，x2＝.∴y1＝0，y2＝.∵(1，0)是与x轴平行的向量，∴b＝(，).法二设b＝(cosα，sinα)，α∈(0，2π)．∵a·b＝cosα＋sinα＝，∴2sin(α＋)＝，sin∴(α＋)＝，∵α≠kπ，∴α＋＝，∴α＝－＝.∴b＝＝(，).答案(，)11．求与向量a＝(，－1)和b＝(1，)夹角相等，且模为的向量c的坐标．解设c＝(x，y)则a·c＝x－y，b·c＝x＋y.∵〈a，c〉＝〈b，c〉，∴＝，而|a|＝|b|＝2，∴x－y＝x＋y，即x＝(2＋)y①又|c|＝，∴x2＋y2＝2②由①②得或∴c＝(，)或c＝(－，－)．12．(创新拓展)平面内有向量OA＝(1，7)，OB＝(5，1)，OP＝(2，1)，点Q为直线OP上的一个动点．(1)当QA·QB取最小值时，求OQ的坐标；(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．解(1)设OQ＝(x，y)，∵点Q在直线OP上，∴向量OQ与OP共线．又OP＝(2，1)，∴x＝2y，∴OQ＝(2y，y)．又QA＝OA－OQ＝(1－2y，7－y)，QB＝OB－OQ＝(5－2y，1－y)，∴QA·QB＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8，故当y＝2时，QA·QB有最小值－8，此时OQ＝(4，2)．(2)由(1)知：QA＝(－3，5)，QB＝(1，－1)，QA·QB＝－8，|QA|＝，|QB|＝，cos∠AQB＝＝
