第5章三角恒等变换5.1两角和与差的三角函数5.1.1两角和与差的正弦和余弦双基达标(限时20分钟)1.cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)sin(α+25°)等于().A.B.-C.D.解析原式=cos[(α-35°)-(α+25°)]=cos(-60°)=cos60°=.答案A2.已知cos(α-β)=,sinβ=-,且α∈0,,β∈,则sinα=________.A.B.C.-D.-解析∵β∈-,0,sinβ=-,∴cosβ=.∵α∈0,,β∈-,0,∴α-β∈(0,π).∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=.∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=×+×-=.答案A3.(cos75°+sin75°)=().A.B.-C.D.-解析(cos75°+sin75°)=cos45°cos75°+sin45°sin75°=cos(75°-45°)=cos30°=.故选C.答案C4.若α为锐角且cosα=,则cos的值为________.解析∵cosα=,α为锐角.∴sinα=.∴cos=cosαcos+sinαsin=(sinα+cosα)=.答案5.函数f(x)=sinx-cosx的最大值为________.解析f(x)=sinx-cosx===sin.答案6.求函数y=cosx+cos(x∈R)的最大和最小值.解y=cosx+cosxcos+sinxsin=cosx+sinx===cos.∵-1≤cos≤1.∴ymax=,ymin=-.综合提高限时25分钟7.若sinα+sinβ=,cosα+cosβ=-,则cos(α-β)=().A.-B.C.-D.解析由sinα+sinβ=,cosα+cosβ=-,得2+2sinα·sinβ+2cosαcosβ=,∴2cos(α-β)=-2=,cos(α-β)=.答案B8.当-≤x≤时,函数f(x)=sinx+cosx的().A.最大值是1,最小值是-1B.最大值是1,最小值是-C.最大值是2,最小值是-2D.最大值是2,最小值是-1解析f(x)=sinx+cosx=2=2=2sin,当x+=,即x=时,f(x)max=2;当x+=-,即x=-时,f(x)min=-1.答案D9.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则cosαcosβ=().A.B.C.D.解析由已知得cosαcosβ-sinαsinβ=,cosαcosβ+sinαsinβ=.两式相加得,2cosαcosβ=+=,即cosαcosβ=.故选C.答案C10.已知sinα-cosβ=,cosα-sinβ=,则sin(α+β)=________.解析把sinα-cosβ=两边平方,得sin2α-2sinαcosβ+cos2β=.①把cosα-sinβ=两边平方,得cos2α-2cosαsinβ+sin2β=.②①+②,得1+1-2(sinαcosβ+cosαsinβ)=.∴2sin(α+β)=2-=.∴sin(α+β)=.答案11.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且<α-β<π,<α+β<2π,求角β的值.解由cos(α-β)=-且<α-β<π,得到sin(α-β)=,由cos(α+β)=且<α+β<2π,得到sin(α+β)=-.于是cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=×+×=-1.由于<α-β<π,所以-π<β-α<-,与<α+β<2π相加得到,<2β<.故2β=π,从而β的值为.12.(创新拓展)求函数f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx,x∈R的最值及取到最值时x的值.解设sinx+cosx=t,则t=sinx+cosx==sin,∴t∈[-,],sin∴x·cosx==.∴f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx即g(t)=t+=(t+1)2-1,t∈[-,].当t=-1,即sinx+cosx=-1时,f(x)min=-1.此时,由sin=-,解得x=2kπ-π或x=2kπ-,k∈Z.当t=,即sinx+cosx=时,f(x)max=+.此时,由sin=,sin=1.解得x=2kπ+,k∈Z.