第5章三角恒等变换5.1两角和与差的三角函数5.1.1两角和与差的正弦和余弦双基达标(限时20分钟)1．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)等于()．A.B．－C.D.解析原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝.答案A2．已知cos(α－β)＝，sinβ＝－，且α∈0，，β∈，则sinα＝________．A.B.C．－D．－解析∵β∈－，0，sinβ＝－，∴cosβ＝.∵α∈0，，β∈－，0，∴α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×－＝.答案A3.(cos75°＋sin75°)＝()．A.B．－C.D．－解析(cos75°＋sin75°)＝cos45°cos75°＋sin45°sin75°＝cos(75°－45°)＝cos30°＝.故选C.答案C4．若α为锐角且cosα＝，则cos的值为________．解析∵cosα＝，α为锐角．∴sinα＝.∴cos＝cosαcos＋sinαsin＝(sinα＋cosα)＝.答案5．函数f(x)＝sinx－cosx的最大值为________．解析f(x)＝sinx－cosx＝＝＝sin.答案6．求函数y＝cosx＋cos(x∈R)的最大和最小值．解y＝cosx＋cosxcos＋sinxsin＝cosx＋sinx＝＝＝cos.∵－1≤cos≤1.∴ymax＝，ymin＝－.综合提高限时25分钟7．若sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝－，则cos(α－β)＝()．A．－B.C．－D.解析由sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝－，得2＋2sinα·sinβ＋2cosαcosβ＝，∴2cos(α－β)＝－2＝，cos(α－β)＝.答案B8．当－≤x≤时，函数f(x)＝sinx＋cosx的()．A．最大值是1，最小值是－1B．最大值是1，最小值是－C．最大值是2，最小值是－2D．最大值是2，最小值是－1解析f(x)＝sinx＋cosx＝2＝2＝2sin，当x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2；当x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1.答案D9．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则cosαcosβ＝()．A.B.C.D.解析由已知得cosαcosβ－sinαsinβ＝，cosαcosβ＋sinαsinβ＝.两式相加得，2cosαcosβ＝＋＝，即cosαcosβ＝.故选C.答案C10．已知sinα－cosβ＝，cosα－sinβ＝，则sin(α＋β)＝________.解析把sinα－cosβ＝两边平方，得sin2α－2sinαcosβ＋cos2β＝.①把cosα－sinβ＝两边平方，得cos2α－2cosαsinβ＋sin2β＝.②①＋②，得1＋1－2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝.∴2sin(α＋β)＝2－＝.∴sin(α＋β)＝.答案11．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，求角β的值．解由cos(α－β)＝－且＜α－β＜π，得到sin(α－β)＝，由cos(α＋β)＝且＜α＋β＜2π，得到sin(α＋β)＝－.于是cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝×＋×＝－1.由于＜α－β＜π，所以－π＜β－α＜－，与＜α＋β＜2π相加得到，＜2β＜.故2β＝π，从而β的值为.12．(创新拓展)求函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值．解设sinx＋cosx＝t，则t＝sinx＋cosx＝＝sin，∴t∈[－，]，sin∴x·cosx＝＝.∴f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．当t＝－1，即sinx＋cosx＝－1时，f(x)min＝－1.此时，由sin＝－，解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.当t＝，即sinx＋cosx＝时，f(x)max＝＋.此时，由sin＝，sin＝1.解得x＝2kπ＋，k∈Z.
