第十一单元数系的扩充推理与证明11.1复数的概念及运算一、选择题1．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：＋(1＋i)2＝－＋i，则复数对应的点在第二象限．答案：B2．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A．2B．4C．－6D．6解析：＝＝，根据已知条件a＝－6.答案：C3．()2等于()A.＋iB．－－iC.－iD．－＋i答案：D4．()2005等于()A．iB．－iC．22005D．－22005解析：原式＝()2004()＝i.答案：A二、填空题5．若z∈C，且(3＋z)i＝1(i为虚数单位)，则z＝________.解析：∵(3＋z)i＝1，∴3＋z＝－i.∴z＝－3－i.答案：－3－i6．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．解析：＝＝＝，根据已知条件a＝.答案：7．已知复数z1＝1－i，z1·z2＝1＋i，则z2＝________.解析：由z1·z2＝1＋i知：z2＝＝＝i.答案：i三、解答题8．计算下列各式：(1)i2000＋(＋i)8－()50；(2)(－i)6.解答：(1)原式＝i4×500＋[2(1＋i)2]4－()25＝1＋(4i)4－i25＝257－i.(2)由ω＝－＋i，∴－i＝－ω.原式＝[－(－＋i)]6＝(－＋i)6＝1.9．已知＋＝2n，求最小正整数n.解答：原等式可化为＋＝2n，即[(1＋i)2]n(1＋i)＋[(1－i)2]n·(1－i)＝2·2n，(2i)n(1＋i)＋(－2i)n(1－i)＝2·2n，2n·in(1＋i)＋2n(－i)n(1－i)＝2·2n，∴in[(1＋i)＋(－1)n(1－i)]＝2.若n＝2k(k∈N*)，则i2k[(1＋i)＋(1－i)]＝2，∴i2k＝1，∴正整数k的最小值为2，∴正整数n的最小值为4，若n＝2k－1(k∈N*)．则i2k－1[(1＋i)－(1－i)]＝2·i·i2k－1，故2i2k＝2，∴i2k＝1，∴正整数k的最小值为2，∴正整数n的最小值为4.∴对于n∈N*时，最小正整数为3.10．试分析方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0是否有实根？并解方程．解答：设x0是方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0的实根，则x－(4－2i)x0＋3－2i＝0.整理得(x－4x0＋3)＋(2x0－2)i＝0，则解得x0＝1.根据根与系数的关系，方程的两解分别为1,3－2i.1．已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，那么p，q的值分别是()A．p＝－4，q＝5B．p＝－4，q＝3C．p＝4，q＝5D．p＝4，q＝3答案：A2．对于非零实数a、b，以下四个命题都成立：①a≠＋0；②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a2＝ab，则a＝b.那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是________．答案：②④
