8.2余弦定理双基达标(限时20分钟)1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶点的余弦值为()．A.B.C.D.解析设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a.由余弦定理得cosθ＝＝，故选D.答案D2．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为()．A．4B．8C．4或8D．无解解析由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.答案C3．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为()．A.B.C.D.解析∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理可得cosC＝＝＝，∵00，则cosC＝＝－.答案－5．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________．解析由余弦定理得：cosA＝＝－，∴A＝120°.答案120°6．证明：＝.证明右边＝＝＝＝＝＝左边．综合提高限时25分钟7．已知三角形的三边长分别是a，b，，则此三角形中的最大角是()．A．30°B．60°C．120°D．150°解析∵>a，>b，∴最大边是，设其所对的角为θ，则cosθ＝＝－，θ＝120°.答案C8．在△ABC中，已知acosA＋bcosB＝ccosC，则△ABC是()．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析由acosA＋bcosB＝ccosC，得a·＋b·＝c·.化简，得a4－2a2b2＋b4＝c4，即(a2－b2)2＝c4，∴a2－b2＝c2或a2－b2＝－c2.∴△ABC是直角三角形．答案B9．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________．解析直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，所以c＝2，由正弦定理＝得sinA＝，由于a0，0<∴a<16，∴S＝absinC＝a(16－a)sin60°＝(16a－a2)＝－(a－8)2＋16；(2)当a＝8时，Smax＝16；(3)l＝a＋b＋c＝a＋b＋＝16＋当a＝8时lmin＝24.12．(创新拓展)在△ABC中，若三边的长为连续整数，且最大角是最小角的二倍，求三边长．解设最小内角为θ，三边长为n－1，n，n＋1，(n>1，n∈N)，根据正弦定理得：＝，∴n－1＝，cos∴θ＝.根据余弦定理得cosθ＝∴＝，解得n＝5，从而三边长分别为4，5，6.
