8.3解三角形的应用举例(一)双基达标(限时20分钟)1．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为()．A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°解析原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．答案C2．如图，为了测量障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据()．A．α、a、bB．α、β、γC．a、b、γD．β、a、b解析因a、b、γ可使用测量工具测得，而且可直接由余弦定理得到AB＝.答案C3．在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，则下列式中一定成立的是()．A．a＝B．c＝acosB＋bcosAC．b＝D．a＝c·cotB答案B4．如图，A、B两点间的距离为________．解析AB2＝32＋32－2×3×3cos45°＝32×(2－)，∴AB＝3.答案35．在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________．解析如图，易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，则BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200m．故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)m.答案200(＋1)m6．如图所示，为了测量河对岸两个建筑物C，D两点之间的距离，在河岸这边选取点A，B，测得∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝45°，又已知AB＝km，A，B，C，D在同一平面内，试求C，D两点之间的距离．解由已知得∠BAD＝120°，∠ADB＝30°，∠ABC＝75°，∴∠ADB＝∠ABD.在△ABD中，AD＝AB＝.在△ABC中，AC＝sin∠ABC·＝sin75°·＝.在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠CAD＝3＋－2××·cos75°＝5.∴CD＝.所以C，D两点之间的距离为km.综合提高限时25分钟7．如图，已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3km，B＝45°，C＝30°，则A、C两地的距离为()．A．3kmB．3kmC．6kmD．3km解析根据题意，由正弦定理可得＝，代入数值得＝，解得AC＝3.故选A.答案A8．两座灯塔A和B与海岸观测站C的距离相等，灯塔A在观测站北偏东40°，灯塔B在观测站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()．A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°答案B9．如图，A、N两点之间的距离为________．解析因为∠MNA＝180°－120°－30°＝30°，所以MN＝MA＝40.AN2＝2×402－2×402×cos120°＝3×402，所以AN＝40.答案4010．一船在海面A处望见两灯塔P、Q在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达B处，望见灯塔P在正西方向，灯塔Q在西北方向，则两灯塔的距离为________海里．解析如图，在△ABP中，AB＝4，∠BAP＝60°，∠ABP＝45°，∴∠APB＝75°.由正弦定理得PA＝＝＝4(－1)．又在△ABQ中，∠ABQ＝45°＋45°＝90°，∠PAB＝60°，∴AQ＝2AB＝8，于是PQ＝AQ－AP＝8－4(－1)＝12－4，∴两灯塔间距离为(12－4)海里.答案(12－4)11．如图所示，一艘海轮以30海里/时的速度航行，在A处测得海面上的油井P在南偏东60°方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向．若海轮沿北偏东60°方向航行80分钟到达C点，求P，C两点之间的距离．解在△ABP中，∠ABP＝30°，∠BAP＝120°，AB＝×30＝20，由正弦定理，得BP＝＝×＝20.∵C点在B北偏东60°方向，∠ABP＝30°，∴∠CBP＝90°，且BC＝×30＝40，∴在Rt△PBC中，PC＝＝＝20.所以P，C两点之间的距离为20海里．12．(创新拓展)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内．飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．解方案1：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1：B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．②第一步：计算AM，由正弦定理AM＝；第二步：计算AN，由正弦定理AN＝；第三步：计算MN，由余弦定理MN＝.方案2：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．②第一步：计算BM，由正弦定理BM＝；第二步：计算BN，由正弦定理BN＝；第三步：计算MN，由余弦定理MN＝.
