高等代数§6.3 维数 基与坐标VIP免费

一、一、线性空间中向量之间的线性关系线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标二、线性空间的维数、基与坐标§§6.36.3维数维数··基与坐标基与坐标引引入入即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？问题Ⅰ如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）问题Ⅱ线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？（坐标问题）一、线性空间中向量之间的线性关一、线性空间中向量之间的线性关系系11、有关定义、有关定义设V是数域P上的一个线性空间（1）1212,,,(1),,,,,rrVrkkkP和式1122rrkkk的一个线性组合．称为向量组12,,,r（2），若存在12,,,,rV12,,,rkkkP则称向量可经向量组线性表出；12,,,r1122rrkkk使若向量组中每一向量皆可经向量组12,,,s12,,,r线性表出，则称向量组12,,,s可经向量组线性表出；12,,,r若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的．（3）12,,,rV，若存在不全为零的数12,,,rkkkP，使得11220rrkkk则称向量组为线性相关的；12,,,r（4）如果向量组不是线性相关的，即12,,,r11220rrkkk只有在时才成立，120rkkk则称为线性无关的．12,,,r（1）单个向量线性相关0.单个向量线性无关0向量组线性相关12,,,r12,,,r中有一个向量可经其余向量线性表出．22、有关结论、有关结论（2）若向量组线性无关，且可被12,,,r向量组线性表出，则12,,,s;rs若与为两线性无关的12,,,r12,,,s等价向量组，则.rs（3）若向量组线性无关，但向量组12,,,r12,,,,r线性相关，则可被向量组线性表出，且表法是唯一的．12,,,r二、线性空间的维数、基与坐标二、线性空间的维数、基与坐标11、维数、维数定义如果在线性空间V中有n个线性无关的向量,没有更多数目的线性无关的向量,那么V称为n维的,若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量,那么就称为无限维的.因为，对任意的正整数n，都有n个线性无关的向量例1所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的.1，x，x2，…，xn－1下面主要讨论有限维线性空间.在n维线性空间V中，n个线性无关的向量2.2.基基坐标坐标12,,,n，称为V的一组基；下的坐标，记为12(,,,).naaa设为线性空间V的一组基，12,,,n,V则数组，就称为在基12,,,n12,,,naaa112212,,,,nnnaaaaaaP若有时也形式地记作1212(,,,)nnaaa注意：注意：向量的坐标12(,,,)naaa是被向量和基12,,,n唯一确定的．即向量在基下的坐标唯一的.12,,,n但是，在不同基下的坐标一般是不同的．44、线性空间的基与维数的确定、线性空间的基与维数的确定定理定理：若线性空间V中的向量组满足12,,,nⅰ）线性无关；12,,,nⅱ）可经线性表出,,V12,,,n则V为n维线性空间，为V的一组基．12,,,n证明： 线性无关，12,,,naaa∴V的维数至少为n．任取V中n＋1个向量，121,,,,nn由ⅱ)，向量组可用向量组121,,,,nn若是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．121,,,,nn12,,,naaa线性表出.∴V中任意n＋1个向量是线性相关的．121,,,,nn故，V是n维的，就是V的一组基．12,,,n例23维几何空间R3＝{(,,),,}xyzxyzR123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)是R3的一组基；123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)也是R3的一组基．一般地，向量空间12{(,,,),1,2,,}nniPaaaaPin为n维的，12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)n就是Pn的一组基．称为Pn的标准基.①n维线性空间V的基不是唯一的，V中任意n个②任意两组基向量是等价的．例3（1）证明：线性空间P[x]n是n...