§1.7静电场的散度和旋度现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程——散度方程和旋度方程.1.矢量场的散度和高斯定理（参见教材P848）在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与△V之比的极限(1.7-1)为矢量场A在该点的散度（divergenceofA）它是一个标量.显然若则该点散度▽·A≠0，该点就是矢量场A的一个源点若则该点散度▽·A=0，该点不是矢量场A的源点若所有点上均有▽·A=0，A就称为无散场.在直角坐标系中(1.7-2)▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850.高斯定理（Gauss,Theorem）对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换成立：(1.7-3)即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分.由此可知，若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零，它就是无散场，即处处有▽·A=0.这意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线.2.电场的散度方程大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程(1.7-4)其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理(1.7-3))，(1.7-4)的左边可化为V内E的散度之体积分，因此有设想体积V缩小成包含某点P（x,y,z）的无限小体积元dV，便得(1.7-5)这就是电场高斯定理的微分形式——电场的散度方程.它表示电荷分布点，即r≠0的点上▽·E≠0,这些点就是电场的源点.3.矢量场的旋度和斯托克斯定理（参见教材P853）在连续可微的矢量场A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径L积分，△S=△S是L围成的面积元矢量,并且约定：面积元△S的法向，与路径积分绕行方向符合右旋规则.当△S缩小成某点P（x,y,z）的无限小邻域，定义如下极限(1.7-6)为矢量场A的旋度▽×A(curlofA,rotationofA)在方向的投影按上述约定若（▽×A）n为正值，则A的场线在该点周围形成右手涡旋若（▽×A）n为负值，则A的场线在该点周围形成左手涡旋若（▽×A）n=0，A线在该点不形成涡旋如果在所有点上均有▽×A=0，则A场就称为无旋场在直角坐标系中，A的旋度为(1.7-7)▽×A在球坐标和柱坐标系中的表达式，见教材P855.斯托克斯定理（Stokes,Theorem）对任意闭合路径L及其围成的曲面S，下述积分变换成立：(1.7-8)即，矢量场A沿任意闭合路径L的环量，等于它在L所围的任意曲面S上各点旋度的面积分.由此可知，若矢量场A沿任意闭合路径L的环量恒为零——保守场，它就是无旋场，即处处有▽×A=0.4.静电场的旋度方程我们知道，静电场是一个保守场，即对任意闭合路径L，E的环量均为零(1.7-9)据斯托克斯定理（1.7-8)，我们可得到(1.7-9)的微分形式▽×E=0(1.7-10)这表示，静电场是无旋场.如大家所知，静电场的E线始发于正电荷，终止于负电荷，E线无涡旋状的结构磁场线（B线）则是围绕电流构成闭合的、涡旋状的结构.(1.7-5)和(1.7-10)是静电场两个基本的微分方程.静电场的两个基本的微分方程至此，我们已经得到静电场的两个基本的微分方程：(1.7-5)▽×E=0(1.7-10)（1）这两个方程分别是静电场的高斯定理和环路定理的微分形式（2）这两个方程描述了静电场的有源无旋性质：电荷分布点是电场的源点静电场的场线无涡旋状结构
