等腰三角形专题一等腰三角形的性质和判定的应用1.已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形2.如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连结BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连结ED．若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是．3.在等腰△ABC中，AB=AC，MN是AB的垂直平分线，MN与AB相交于D点，与AC所在的直线相交于E点，若∠AED=40°，则∠EBC的度数为______.4如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数；（2）若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数；（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明）专题二等腰（边）三角形中的动点问题5.已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M，的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论。测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______。6.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B，重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D运动的程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．7．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连结AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：12AB?r1+12AC?r2=12AB?h，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=_____．若不存在，请说明理由．参考答案1.C解析：根据题意得2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，所以222)))0abcbac（（+（，所以a=b=c，所以△ABC是等边三角形.2.19解析： △ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC＝10. △BAE由△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE＝CD，BD＝BE，∠EBD＝60°，∴AE＋AD＝AD＋CD＝AC＝10， ∠EBD＝60°，BE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BD＝9，∴△AED的周长＝AE＋AD＋DE＝AC＋BD＝19．故答案为19．3.15°或75°解析：如图①， E在AB的垂直平分线上，∴EA=EB，可得∠EBA=∠A=90°－40°=50°. AB=AC，∴∠CBA=∠C=°1802A－∠=65°，∴∠EBC=15°；如图②， E在AB的垂直平分线上，∴EA=EB，可得∠EBA=∠EAB=90°-40°=50°. AB=AC，∴∠CBA=∠C=21∠EAB=25°，∴∠EBC=25°+50°=75°.4.解：（1） BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB. EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△BEO和△CFO是等腰三角形，即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；EF与BE、CF之间的关系是EF=BE+CF，理由是： BE=OE，CF=OF，∴EF=BE+CF．（2） BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCG. EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCG，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△BEO和△CFO是等腰三角形，即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；EF与BE、CF之间的关系是EF=BE-CF，理由是： BE=OE，CF=OF，∴EF=OE-OF=BE-CF．5.解：（1） ∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=21（180°-∠BAC）=45°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°. ∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-30°=60°， AD=AE，∴∠ADE=∠AED=21（180°-∠DAC）=60°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=75°-60°=15°，答：∠EDC的度数是15°．（2...
