第24讲计算综合计算问题是学习数学必不可少的一个环节。无论是要学好课内知识，还是要学好奥林匹克数学，解决好计算问题，都是一个很重要的因素。要掌握较复杂的各类计算，不仅需要熟练的掌握各类运算法则、定律、性质，还需要掌握各类运算的技巧。关键要对题目进行认真的观察，识别算式的特点及各数之间的关系，巧妙、灵活地运用运算定律，使计算变得简单易行。因此，解决好计算问题，对于开拓学生的视野，启迪学生的思维，培养学生综合应用知识的能力，将会起到重要的作用。一、利用法则进行运算在很多的数学竞赛中，经常出现这样一类的运算。从算式的特征和各数的关系上，并不具备简算和巧算的特点。这类计算通常是考察同学们的运算能力。这类题目通常数目较大，并且计算较繁琐，在解题的过程中需要同学们要有足够的耐心，并且要具有扎实的基本功。例1计算：分析：这道题目计算步骤较多，同时又不具备简算和巧算的条件，主要是考察同学们的计算能力。但在计算的过程中，同学们也要注意合理地运用法则，恰当地使用通分和约分及分数和小数转化的手段，从而使计算变得相对简单，提高计算的准确性。解答：说明：本道例题选自《第八届华罗庚金杯复赛》的第一题，不难看出要准确地解答这道题目，要求学生具备扎实的基本功。但是“硬算”并不等于傻算。如果能像解答中合理的控制分数与小数的转化，掌握好约分和通分的时机，也可以使解答变得相对简单。二、合理、灵活地运用所学的定律和性质进行计算在较复杂的运算中，利用所学的运算定律和性质进行简算和巧算，是很常见的一种变化类型。由于一般情况下数比较大，运算比较复杂，因此要求学生要善于观察数与运算符号的特点。抓住它们之间的联系，合理地运用定律和性质。例2计算：分析：这道例题初看时，并不具备简算的特点，但是仔细观察可以看出两步乘法运算中分数的分母都是19；并且两步乘法运算之间的运算是加法，具备乘法分配率逆运算的运算特征。如果能找出公因数，就可以进行简算。进一步观察可以看出；，从而发现公因数，因此可以利用乘法分配率进行运算。解答：说明：竞赛中的题目，通常难度都较大，需要同学们要善于捕捉题目中可利用的条件。只有善于观察的人，才有可能找到解题的捷径。但是值得注意的是运用定理和性质必须要合理，不能够为了简算随意编造，这样反而会适得其反。三、学会使用完全平方公式和平方差公式完全平方公式和平方差公式在小学的课程并不要求掌握，但是在小学的数学竞赛的计算中，它们却起着相当重要的作用。这就要求同学们很好的了解并掌握它们。学会使用这两个公式，将使一些看似复杂的计算变得相对简单。下面我们首先了解这两个公式的具体内容：平方差公式：完全平方公式：在使用这两个公式时，既可以正向使用，又可以逆向使用。值得注意的是在使用时，同学们一定要注意计算过程中运算的特点和数的特征。只有恰当地合理地使用公式，才会起到事半功倍的效果。例3分析：不难看出这道题如果按部就班的进行计算，将会非常复杂。了解了平方差公式的特点，就可以发现恰好符合平方差公式的特征。利用公式对算式进行转化，将会使计算变得简单。解答：说明：可以看出，由于合理地利用了平方差公式对算式进行了转化，从而使计算变得相对简单。但要注意的是（100+99）×（100－99）并没有立刻计算成199，而是在计算时充分利用了数列的特点，将计算转化成了1至100的等差数列，从而使计算变得更加简单。因此，在使用公式的时候要相对灵活，随时观察运算的特征，善于抓住任何可利用的有利条件。例4计算：分析：这道题数目很大，按常规进行计算很难解决。尤其是题目中的两个平方数，更是难于计算出结果，分子和分母之间又不具备公因数，不能通过约分使数目简化。这样一道看似无法解决的题目，如果利用完全平方公式进行合理的转化，就可以使它得以解决。分母中的200220022可以看成(20022000+2)2=20020002+2×2×20022000+22，这时，分母中的20022002就利用完全平方公式转化成了20022000，再加上分母中本身含有的1个20022000，就可以将分母进一步进行转化，从而确定分母与分子之间的联系，使计算简化，并且得以进行。解...
