第21讲正方体和长方体知识网络长方体一共有六个面，每个面都是长方形（或正方形），并且相对应的两个面是全等的，所以长方体一共有3对大小相等的面，即相对面的面积相等。长方体中两个面相交的边叫棱，它共有12条棱，并且相互平行的棱的长度是一样的。长方体有8个顶点，相交于同一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。长、宽、高相等的长方体叫做正方体，正方体的长、宽、高统称为棱长。正方体是长方体的特殊情况，它的六个面都是正方体且面积都相等，它的12条棱长的长度也相等。若长方体的长、宽、高分别用字母a、b、c表示，则其体积V=abc，其表面积为S=2(ab+bc+ca)；若正方体的棱长用字母a表示，则其体积其表面积为。重点·难点本讲主要涉及的问题有：立体图形的计数；立体图形上的最短路线；立体图形的分割与拼凑；立体图形的表面积与体积的计算。这四个问题是数学竞赛中常见的问题，是本讲的难点。学法指导针对上述四个问题，我们用相应的方法来求解。（1）立体图形的计数问题，有一个常用的结论：如果把正方体的每条棱长n等分，那么就将正方体分成个小正方体，而正方体的总个数有。（2）立体图形上的最短路线问题，一般将立体图形展开在平面上，利用公理“两点之间，直线段最短”来求解。（3）立体图形的分割与拼凑，类似于平面图形的分割与拼凑，将不规则的立体图形拼凑成规则的或我们比较熟悉的立体图形。（4）立体图形的表面积与体积的计算，一般是将图形分成几个部分，对各个部分分别求出表面积或体积，再求出总的表面积或体积。经典例题[例1]把十九个棱长为1厘米的正方体重叠起来，拼成一个立体图形，如图1所示，求这个立体图形的表面积。思路剖析如果一个立体图形没有被“挖洞”的问题，那么它的表面积应该是从上、下、左、右和前、后六个方向看到的平面图形的面积的总和。而此立方体图形，从前后、上下、左右分别看到的图形分别如图2所示。解答由于此立体图形的三个面的投影的面积分别是10平方厘米，8平方厘米，9平方厘米，所以此立体图形表面积为（10+8+9）×2=54（平方厘米）。[例2]如图3所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿着虚线折，沿着实线粘）。请问：这个多面体的面数、顶点和棱数各是多少？思路剖析要求这个多面体的面数，只要数出平面纸有几个面即可；而要求出它的顶点数，则要具备一定的空间想像力，比如将上部分的正三角形的三边和三个正方形相连，从而得到9个顶点。已知面数、顶点数，要求棱数可以利用欧拉公式求解，所谓欧拉公式，即多面体的顶点+多面体的面数-多面体棱数=2.解答从展开图中可以看出，粘合的多面体有12个正方形和8个三角形，从而它有20个面。这个多面体上部的中间是一个正三角形，它的三边与三个正方形相连，因此这个多面体的上部共有9个顶点。同理，它的下部也有9个顶点，因此这个多面体的顶点数为18。由欧拉公式，这个多面体的棱数=20+18-2=36，即这个多面体有36条棱。答：粘合后的多面体有20个面，18个顶点，36条棱。[例3]如图4所示是一个长方体，上、下两面被分成6×5=30个正方形，前后两个面被分成6×4=24个正方形，左右两个面被分成5×4=20个正方形，那么图中共有多少个正方体？多少个长方体？思路剖析一个正方体或长方体都有长、宽、高三个基本要素。只要从这三要素上任意取出一条线段就可以组成一个新的长方体，而正方体的个数，则要分大小来数出总数。解答图4中长方体的长边上有6+5+4+3+2+1=21条线段；宽边上有5+4+3+2+1=15条线段；高上有4+3+2+1=10条线段。所以图形中的长方体（包含正方体）的总数有21×15×10=3150（个）。而图4中有最小的正方体6×5×4=120（个），由8个最小正方体组成的正方体有5×4×3=60（个），由27个最小正方体组成的正方体有4×3×2=24（个），由64个最小正方体组成的正方体有3×2×1=6（个），因此，图4中共有正方体120+60+24+6=210（个）。[例4]如图5所示，一长方体木板，它的长、宽和高分别为6厘米。有一只小蚂蚁从这块木板的A点出发爬到B点（其中A点、B点均为这块板长与高的中点），请问，它要如何选择爬行路线，使所经过的路程最短？思路剖析由于小蚂蚁是在长方体的表面上...
