实用文案标准文档分数认识的三次深化与发展王永一、分数与除法在自然数集合里,加法和乘法运算总是可以实施,但减法和除法却不行;引入分数,自然数集合扩充为非负有理数集合后,除法运算才变得畅通无阻。例如,3÷4=?在自然数集合里找不到一个与3÷4对应的自然数,而在非负有理数集合里却找到了一个且只有一个分数43,与3÷4对应,即3÷4=43。如何理解3÷4=43的数学意义呢?⑴表示3是4的43。其中3与4表示不同的两个量,而43是量数,是以4为基准量去度量3所得的结果。一般地,a、b都是非零的自然数时,a÷b=ba。⑵表示3平均分成4份,每份是43;或者43的4倍是3。这里,3和43都表示量,而4是量数。4311434300baba04300101实用文案标准文档事实上,任意两个正有理数相除,都具有上述两种数学意义。例如“3÷25=?”也有下面两种数学意义:⑴3是25的几分之几?从上图,可以看出:3÷25=56。⑵3平均分成25份,每份是多少?因为25是5个的21,所以先把3平均分成5小份,每一小份即是所求一份的21,如下图所示。从上图,也可以看出:3÷25=56。注意:a、b都不是0,但只要有一个是分数,那么a÷b≠ba。所以,如果忽视必要的前提,笼统地说被除数即分子、除数即分母,是不正确的。当且仅当a、b都是不为零的自然数时,等式a÷b=ba才成立。这个命题还告诉我们,分数可以转化为除法,这为分数化为小数打通了一条重要途径。二、百分数百分数是否就是分母是100的分数?如果是,又何必需要这个新概念呢?事实上,百分数是在分数应用的实践中产生和发展起来的。我们先来解决下面的实际问题:25302501?00311?实用文案标准文档在一场足球比赛中,猛虎队获得一次罚点球的机会,他们准备派下列三名队员中的一名去罚点球。下面是这三名队员在过去比赛中罚点球的成绩统计表。队员踢点球的次数罚中的次数3号队员18205号队员21257号队员1312从这个实际问题抽象成的数学问题是:比较分数2018、2521、1312的大小。解法1:(化为同分母的分数进行比较)2018=13001170,2521=13001092,1312=13001200。因为13001200>13001170>13001092,所以1312>2018>2521。由此可知,7号队员以往罚点球的成绩最佳,派他去罚点球是明智的选择。不过,上面三个分数分母的最小倍数(1300)是比较大的,因此通分不仅比较费劲,也容易出差错。解法2:(化为小数进行比较)2018=18÷20=0.90,2521=21÷25=0.84,实用文案标准文档1312=12÷13>0.923。因为0.923>0.90>0.84,所以1312>2018>2521。化为小数,虽然可以借以比较分数的大小,但小数却失去了原来分数的特性,即表示量的倍比关系的意义。因此,需要寻找既能保持分数的特性,计算又比较简便的解题方法。就在这种需要的驱动下,百分数应运而生了。新的办法就是把分母统统变成100。把2018与2521化为分母是100的分数不难:2018=10090,2521=10084。问题在于怎样把1312也变成分母是100的分数呢?设所化成的分数的分子为x,即100x=1312,两边同乘100,得x=1312×100,x≈92.3。所以,1312≈1003.92。这个结果与前面学过的分数不同的地方是,它的分子是一个小数。1003.92的意义是:如果把13平均分成100份,那么12大约占其中的92.3份。也就是说,这种分数只能表示两个量的倍比关系,而不具有表示量的功能。于是,人们把形如10084,10090,1003.92,⋯⋯等,只能表示量的倍比关系,不能表示量的分数,统称为百分数;并引入新的符号“%”(叫做百分号),把百分数记为84%,90%,92.3%,⋯⋯,以便从形式实用文案标准文档上与前面学过的分数加以区别。显然,84%<90%<92.3%,通过百分数的大小比较,也说明是7号队员点球的罚中率最高。诚然,把分数化为百分数还有更简捷的途径,即通过小数转化。如,1312≈0.923=92.3%。但是这种方法,对于理解百分数的意义,不如方程的方法直观。三、比比,顾名思义,与人类比较事物的实践活动密切相关。比的概念是在比较不同的量的倍比关系的实践中产生和发展的。下面先探讨一个现实问题——平面图画得像不像。例1羽毛球场是长18m、宽9m的长方形,如下图A。ABCDEF实用文案标准文档⑴在B、C、D、E、F等图形中,你...