个人收集整理-仅供参考1/16《初等数论》习题集第1章第1节1.证明定理1.2.证明：若mpmnpq，则mpmqnp.3.证明：任意给定地连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数地数字和能被11整除.4.设p是n地最小素约数，n=pn1，n1>1，证明：若p>，则n1是素数.5.证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为a2p（a>0是整数，p为素数）地形式.第2节1.证明：12n42n311n210n，nZ.2.设3a2b2，证明：3a且3b.3.设n，k是正整数，证明：nk与nk+4地个位数字相同.4.证明：对于任何整数n，m，等式n2(n1)2=m22不可能成立.5.设a是自然数，问a43a29是素数还是合数？6.证明：对于任意给定地n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除.第3节1.证明定理1中地结论(ⅰ)—(ⅳ).2.证明定理2地推论1,推论2和推论3.3.证明定理4地推论1和推论3.4.设x，yZ，172x3y，证明：179x5y.5.设a，b，cN，c无平方因子，a2b2c，证明：ab.6.设n是正整数，求地最大公约数.第4节1.证明定理1.2.证明定理3地推论.3.设a，b是正整数，证明：(ab)[a,b]=a[b,ab].4.求正整数a，b，使得ab=120，(a,b)=24，[a,b]=144.个人收集整理-仅供参考2/165.设a，b，c是正整数，证明：.6.设k是正奇数，证明：1291k2k9k.第5节1.说明例1证明中所用到地四个事实地依据.2.用辗转相除法求整数x，y，使得1387x162y=(1387,162).3.计算：(27090,21672,11352).4.使用引理1中地记号，证明：(Fn+1,Fn)=1.5.若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1地整数除所得地余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？b5E2R。6.记Mn=2n1，证明：对于正整数a，b，有(Ma,Mb)=M(a,b).第6节1.证明定理1地推论1.2.证明定理1地推论2.3.写出22345680地标准分解式.4.证明：在1,2,,2n中任取n1数，其中至少有一个能被另一个整除.5.证明：（n2）不是整数.6.设a，b是正整数，证明：存在a1，a2，b1，b2，使得a=a1a2，b=b1b2，(a2,b2)=1，并且[a,b]=a2b2.第7节1.证明定理1.2.求使12347!被35k整除地最大地k值.3.设n是正整数，x是实数，证明：=n.4.设n是正整数，求方程x2[x2]=(x[x])2在[1,n]中地解地个数.5.证明：方程f(x)=[x][2x][22x][23x][24x][25x]=12345p1Ean。个人收集整理-仅供参考3/16没有实数解.6.证明：在n!地标准分解式中，2地指数h=nk，其中k是n地二进制表示地位数码之和.第8节1.证明：若2n1是素数，则n是2地乘幂.2.证明：若2n1是素数，则n是素数.3.证明：形如6n5地素数有无限多个.4.设d是正整数，6d，证明：在以d为公差地等差数列中，连续三项都是素数地情况最多发生一次.5.证明：对于任意给定地正整数n，必存在连续地n个自然数，使得它们都是合数.6.证明：级数发散，此处使用了定理1注2中地记号.第2章第1节1.证明定理1和定理2.2.证明定理4.3.证明定理5中地结论(ⅰ)—(ⅳ).4.求81234被13除地余数.5.设f(x)是整系数多项式，并且f(1),f(2),,f(m)都不能被m整除，则f(x)=0没有整数解.DXDiT。6.已知99，求与.第2节1.证明定理1.2.证明：若2p1是奇素数，则(p!)2(1)p0(mod2p1).3.证明：若p是奇素数，N=12(p1)，则(p1)!p1(modN).4.证明Wilson定理地逆定理：若n>1，并且(n1)!1(modn)，则n是素数.5.设m是整数，4m，{a1,a2,,am}与{b1,b2,,bm}是模m地两个个人收集整理-仅供参考4/16完全剩余系，证明：{a1b1,a2b2,,ambm}不是模m地完全剩余系.RTCrp。6.设m1,m2,,mn是两两互素地正整数，i（1in）是整数，并且i1(modmi)，1in，i0(modmj)，ij，1i,jn.证明：当bi通过模mi（1in）地完全剩余系时，b11b22bnn通过模m=m1m2mn地完全剩余系.第3节1.证明定理1.2.设m1,m2,,mn是两两互素地正整数，xi分别通过模mi地简化剩余系（1in），m=m1m2mn，Mi=，则5PCzV。M1x1M2x2Mnxn通过模m地简化剩余系.3.设m>1，(a,m)=1，x1,x2,,x(m)是模m地简化剩余系，证明：.其中{x}表示x地小数部分.4.设m与n是正整数，证明：(mn)((m,n))=(m,n)(m)(n).5.设a，b是任意给定地正整数，证明：存在无穷多对正整数m与n，使得a(m)=b(n).6.设n是正整数，证明：(ⅰ)(n)>；(ⅱ)若n是合数，则(n)n.第4节1.证明：197810319783能被103整除.2.求313159被7除地余数.3.证明：对于任意地整数a，(a,561)=1，都有a560...
