不定积分求解方法及技巧VIP免费

性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数性质设函数f(x)存在原函数，k为韭零常数，则Jkf(x)dx=kJf(x)dx.摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。一．不定积分的概念与性质定义1如果F(x)是区间I上的可导函数，并且对任意的xeI,有F'(x)=f(x)dx则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。定理1(原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续,那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F(x),使得F(x)=f(x)(xeI)简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，贝y(1)F(x)+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；(2)f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义2设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F(x)+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为Jf(x)d(x),即Jf(x)d(x)=F(x)+C其中记号J称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。[f(x)土g(x)]dx=Jf(x)dx±Jg(x)dx.二．换元积分法的定理如果不定积分Jg(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[P(x)]P'(x).做变量代换u=p(x),并注意到甲(x)dx=dp(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有Jg(x)dx=Jf[p(x)]p'(x)dx=Jf(u)du.如果Jf(u)du可以积出，则不定积分Jg(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u=P(x)可导，则有换元公式件，给出下面的定理。定理2有原函数F(t),则p'(t)dt=F(t)+C=F[p-1(x)]+C其中p-1(x)是％=p(t)的反函数。三．常用积分公式1基本积分公式(I)Jkdx=kx+C(k是常数)；(3)J—=lnxI+C；xJdx(5)二arcsinx+C;1-X2(7)Jsinxdx二-cosx+C;JdxJ(9)=-cotx+C;sin2x(II)Jcscxcotxdx=-cscx+C;(13)Jaxdx=ex+C;(15)Jchxdx二shx+C.Xu+1(2)Jxudx=+C(u丰-1);u+1Jdx(4)=arctanx+C;1+X2(6)Jcosxdx=sinx+C;dx⑻x=tanx+C;cos2x(10)Jsecxtanxdx二secx+C;(12)Jexdx=ex+C;(14)Jshxdx=chx+C;(16)Jtanxdx=-ln|COsR+C;(18)Jsecxdx=ln|secx+tanx|+C;Jf[p(x)]p'(x)dx二Jf(u)du二F(u)+C=F[p(x)]+C.第一类换元法是通过变量代换口=p(x),将积分Jf[p(x)p'(x)dx化为Jf(u)du.但有些积分需要用到形如％=p(t)的变量代换，将积分Jf(x)dx化为Jf[p(t)]p'(t).在求出后一积分之后，再以x=p(t)的反函数七=p-i(X)带回去，这就是第二类换元法。即Jf(x)dx={Jf[p(t)]p'(t)dt}.t=p-1(X)为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=p-1(x)存在的条设％=p(t)是单调，可导的函数，并且p'(t)丰0•又设f[p(t)]p'(t)具Jf(x)dx=Jf[p(t)]【解】(ln(x+1)—二一1(ln(x+1)—lnx)2+C2例2：1+lnx,dx(xlnx)2(19)cscxdx=ln|cscx—cotx|+C;(2dx1,x—a=_ln+C；a2+x2ax+adxx(21)J二arcsin+C;(2dxI冷a2+x2=ln(x+ix2+a2+C;(2dx；.=lnx+*'x2—a2+C.Jx2—a22.凑微分基本类型四．解不定积分的基本方法四．求不定积分的方法及技巧小汇总1.利用基本公式。(这就不多说了~)2.第一类换元法。(凑微分)设f(»)具有原函数F(»)。则其中讥x)可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：J】n(x+D-血xdxx(x+1)x(x+1x+1xx(x+1)1+lnxdxlnx1【解】(xlnx)'=1+lnxdx=J=—+Cx(x+1)2(xlnx)2xlnx3.第二类换元法：设x=¥(t)是单调、可导的函数，并且0(t)丰0.又设叩(t)W'(t)具有原函数,则有换元公式第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：(1)\'a2—x2：x=asint；x=acost(2)「x2+a2:x=atant；x=acott；x=asht(3).x2—a2：x=asect；x=acsct；x=acht(6)当被积函数含有x-max2+bx+c,有时倒代换x=-也奏效。分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取卩、V时，通常基于以下两点考虑：(1)降低多项式部分的系数(2)简化被积函数的类型举两个例子吧~！...