浅谈三角换元法作者：管能碧来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2011年第10期摘要：本文讨论一种重要的换元法，三角换元法.首先介绍了常用的三角换元方法，然后通过实例展示了一些初等数学中的代数问题、几何问题以及部分高等数学中的积分问题转化为三角问题后，可以简洁、明了地加以解决.关键词：代数；几何；积分；三角换元法换元的思想在整个数学中都是很重要的，本文主要是对三角换元法作讨论.三角换元法多用于条件不等式的证明或一些函数值的计算，也可用于解决一些几何中的问题.把某些代数问题或几何问题转化为三角问题，这就是代数问题或几何问题的三角解法，下面举例说明.当所给条件比较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都用同一个参数表示.如果运用恰当，可沟通三角与代数或几何的联系，将复杂的代数或几何问题转化为三角问题.根据具体问题，实施的三角代换方法有如下几种：(1)若x2+y2=a2，则可设x=acosO,y=asin0；(2)若x2+y2<1，则可设x=rcos0,y=rsin0(其中OWr^l).(3)若+=1，则可设x=acos0,y=bsinO.若-=1,则可设x=asec0,y=btan0.(4)若x+y+z=xyz，则可设x=tanA,y=tanB,z=tanC.使用三角换元时,要注意换元后的变量的取值范围要与原变量的取值范围保持一致.代数问题的三角解法将复杂的代数问题转化为三角问题,会使问题变得简单明了.例1已知a2+b2=1,c2+d2=1,求证ac+bd<1.分析：这是代数不等式问题，可以用代数方法证明.但若注意到题设中等式的特殊性，则会自然地想到三角公式sin2a+cos2a=l,于是可设a=sina,b=cosa,把代数问题转化为三角运算.证明：由a2+b2=l,c2+d2=l,可设a=sina，b=cosa,c=sin卩，d=cos卩.于是ac+bd=sinasin卩+cosacos®=cos(a—卩).因为cos(a—卩)<1,所以ac+bd<1.例2若x2+y2=1，求证x2+2xy-y2<.分析：绝对不等式的证明一般是比较困难的，这个题目的已知条件是x2+y2=1，容易联想到sin2a+cos2a=1,于是可设x=cosa,y=sina,把代数问题转化为三角运算.证明：设x=cosa,y=sina，贝IJx2+2xy一y2=cos2a+2sinacosa-sin2a=cos2a+sin2a=・cos2a+sin2a=・sin2a+<,所以x2+2xy-y2<.例3已知a2+b2=1，求证=.证明：设a=sin0,b=cos0，贝IJ====tan==，于是=.此题用三角代换显得简捷、明了.用作差法,化简后再将已知条件代入也可得证.例4设x,y£(0,+<»)，不等式+
恒成立，则a必不小于右边代数式的最大值，即只要求出的最大值即可.观察到()2+()2=()2,因此可用三角换元.解析：因为x,yWR+,()2+()2=()2,令=cosO,=sinO,0^0,.由+=cos0+sin0=・sin0+.因为要使已知不等式恒成立，则需a不小于右边函数y=sinO+的最大值，所以a>,即a的最小值为.注意：凡已知条件有x2+y2=l的一类题目，根据公式sin2a+cos2a=l,可设x=cosa,y=sina,把代数问题转化为三角运算.当然，对于可用三角换元的题型也可以用其他的三角进行换元，如以下例题.例5解方程x+=.解析：令x=secOx£-,0U0,,则原方程变为sec0+=，于是sec0+=,从而sec0+=0£0,,?摇①或sec0-=0e-,0,②由①得tanO・secO+secO=tanO,+=・Jsin0+cos0=sin0cos0,(sinO+cosO)2=2(sinOcosO)2,1+2sin0cos0=(sinOcosO)2,352sin22O-576sin2O-576=0,49x25sin22O-576sin2O-24x24=0,(49sin2O+24)(25sin2O-24)=0,因为OWO,,所以49sin2O+24>0,于是25sin2O-24=0,即sin2O=.又cos2O=±=±=士，代入cos2O=OW0,,得cosO==，于是cosO=或cosO=.由②得49x25sin220+576sin20-24x24=00£-,0.同理可得cos0=或cos0=.因此，％=或x=.经检验知％=或％=均为方程x+=的解.例6计算复数(-1+i)20.解析：(-1+i)20=20・-+i20=2xl0・cos+isin20=210(cosl5n+isinl5n)=210(-1+0)=-210.例7对定义域分别是Df,Dg的函数y=f(x),y=g(x)，规定：函数h(x)=f(x)•g(x)(x£Df,x£Dg),f(x)(x£Df,x?埸Dg),g(x)(x?埸Df，x£Dg).若gx=f(x+a)，其中a是常数，且a£[0,n],请设计一定义域为R的函数y=f(x)，以及一^个a的值，使得h(x)=cos4x，并予以证明.(这是2005年上海市的高考试题(理)第21题(III))解法一：令f(x)=sin2x+cos2x,a=,贝Ijg(x)=f(x+a)=sin2x++cos2x+二cos2x一sin2x.于是h(x)=f(x)•f(x+a)=(sin2x+cos2x)(cos2x-...
