2015高中数学三角函数与平面向量的综合应用新人教A版必修4VIP免费

三角函数与平面向量的综合应用题型一三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例1】已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q＝(－cosA＋sinA，1＋sinA)是共线向量.（1）求角A；（2）求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2的最大值.【解】（1） →p、→q共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(－cosA+sinA)，则sin2A＝34，又A为锐角，所以sinA＝32，则A＝3.（2）y＝2sin2B＋cosC－3B2＝2sin2B＋cos(π－3－B)－3B2＝2sin2B＋cos(3－2B)＝1－cos2B＋12cos2B＋32sin2B＝32sin2B－12cos2B＋1＝sin(2B－6)＋1. B∈(0，2)，∴2B－6∈(－6，56)，∴2B－6＝2，解得B＝3，ymax＝2【点评】本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型二三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例2】已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(32，2π)，且→a⊥→b．（1）求tanα的值；（2）求cos(α2＋3)的值．【解】（1） →a⊥→b，∴→a·→b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，故→a·→b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－43，或tanα＝12． α∈（32，2π），tanα＜0，故tanα＝12（舍去）．∴tanα＝－43．（2） α∈（32，2π），∴α2∈（34，π）．由tanα＝－43，求得tanα2＝－12，tanα2＝2（舍去）．∴sinα2＝55，cosα2＝－255，∴cos(α2＋3)＝cosα2cos3－sinα2sin3＝－255×12－55×32＝－25＋1510【点评】本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（1）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.题型三三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|→a|2＝→a2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例3】已知向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)，|→a－→b|＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－2＜β＜0＜α＜2，且sinβ＝－513，求sinα的值【解】(1) |→a－→b|＝255，∴→a2－2→a·→b＋→b2＝45，将向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)代入上式得12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝45，∴cos(α－β)＝35.(2) －2＜β＜0＜α＜2，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝35，得sin(α－β)＝45，又sinβ＝－513，∴cosβ＝1213，∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝3365.【点评】本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|→a－→b|为向量运算|→a－→b|2＝(→a－→b)2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型四三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹...