第14讲：线性空间的概念,维数、基与坐标VIP免费

统计软件分析与应用6.1-6.2线性空间的概念，维数、基与坐标线性代数A第6章线性空间与线性变换统计软件分析与应用6.1-6.2线性空间的概念，维数、基与坐标线性代数A线性空间是线性代数最基本的概念之一,它线性空间是为了解决实际问题而引入的,它一、线性空间的定义是向量空间概念的推广．是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题看作线性空间,进而通过研究线性空间来解决实际问题．§1线性空间的概念统计软件分析与应用6.1-6.2线性空间的概念，维数、基与坐标线性代数A个元素与之对应,称为与的和,记作V;记作若对于任一数与任一元素,总有唯一FV的一个元素与之对应,称为数与的积,V;定义1设是一个非空集合,为一数域，VF如果对于任意两个元素,总有唯一的一V,统计软件分析与应用6.1-6.2线性空间的概念，维数、基与坐标线性代数A;)1(;)2(如果上述两种运算满足以下八条运算规律VF,,;,(设)：0;,)4(使的负元素都有对任何V,V0;,,)3(都有对任何中存在零元素在VV0统计软件分析与应用6.1-6.2线性空间的概念，维数、基与坐标线性代数A;1)5(;)6(.)8(;)7(那么,就称为数域上的线性空间(或向量空VF间),中的元素称为向量(或元).V统计软件分析与应用6.1-6.2线性空间的概念，维数、基与坐标线性代数A2.向量空间中的向量不一定是有序数组．3.一个集合,对于定义的加法和数乘运算不封说明1.能满足以上八条规律的加法及数乘运算,称为线性运算．闭,或者运算不满足以上八条规律中的任一条,则此集合就不能构成线性空间.统计软件分析与应用6.1-6.2线性空间的概念，维数、基与坐标线性代数A(1)一个集合,如果定义的加法和数乘运算例１实数域上的全体矩阵,对矩阵nm记作．nmR,mnmnmnmnABCR,mnmnmnADR.是一个线性空间nmR线性空间的判定方法是通常的实数间的加乘运算,则只需检验对运算的封闭性．的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间,统计软件分析与应用6.1-6.2线性空间的概念，维数、基与坐标线性代数A)()(0101bxbxbaxaxannnn)()()(0011baxbaxbannn][xPn)(01axaxann)()()(01axaxann][xPn种运算满足线性运算规律．且向量空间.对于通常的多项式加法和数乘多项式的乘法构成的多项式的全体,即次数不超过n例21010[]{,,,}nnnnPxaxaxaaaaR证通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两[].nPx构成线性空间所以统计软件分析与应用6.1-6.2线性空间的概念，维数、基与坐标线性代数Ap0000xxn][xQn空和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法n次多项式的全体例3间.这是因为1010[]{,,,,0}nnnnnQxaxaxaaaaRa对10[]nnnpaxaxaQx.][对运算不封闭xQn所以统计软件分析与应用6.1-6.2线性空间的概念，维数、基与坐标线性代数A例４对数函数的集合SxsAxARln.对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性1212lnlnssAxAxAAx12lnAxln].[xS空间．][xSsAxAx111lnln因为1122ln[],ln[]sAxSxsAxSx则是一个线性空间.Sx所以统计软件分析与应用6.1-6.2线性空间的概念，维数、基与坐标线性代数A在区间上全体实连续函数,对函数的],[ba一般地,有以下结论加法与数和函数的数量乘法,构成实数域上的线性空间．事实上,任意两个实连续函数的和仍然为实连续函数,数与实连续函数的乘积仍为实连续函数．统计软件分析与应用6.1-6.2线性空间的概念，维数、基与坐标线性代数A例5正实数的全体,记作,在其中定义加法R,,,,.ababaaRabR验证对上述加法与乘数运算构成线性空间．R(2)一个集合,如果定义的加法和数乘运算证明先证运算的封闭性,;abRababR,.RaRaaR不是通常的实数间的加乘运算,则必需检验是否满足八条线性运算规律．及数乘运...