数学：第3章《幂函数》素材3（新人教B必修1）VIP专享VIP免费

借幂函数比较大小比较大小问题是幂函数中的一种常见题型．下面介绍几种方法，供同学们学习时参考．一、直接法当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较．[来源:学+科+网Z+X+X+K]例１比较下列各组中两个值的大小：[来源:学科网ZXXK]（1）1.51.50.70.6，；（2）232.2，231.8．解析：题中两组值都是幂运算的结果，且指数相同，因此可以利用幂函数的性质来判断它们的大小．[来源:学科网ZXXK][来源:学,科,网]（1）∵幂函数1.5yx在［０，＋∞）上为增函数，又0.7＞0.6，∴1.51.50.70.6；（2）∵幂函数23yx在（０，＋∞）上为减函数，又2.2＞1.8，∴232.2>231.8．例2函数3()()3afxabxb是幂函数，比较()fa与()fb的大小．[来源:学科网ZXXK]解析：∵()fx是幂函数，∴301bab，，解得43.ab，∴43()fxx．∵函数43()fxx在（0，＋∞）上是增函数，且a＞b＞0，∴()()fafb．二、转化法当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小．例３比较224333(2)(0.7)1.1，，的大小．解析：222233332(2)(0.7)0.72，，42331.11.21．用心爱心专心∵幂函数23yx在（０，＋∞）上单调递减，且0.7＜22＜1.21，∴22233320.71.212．∴224333(0.7)(2)1.1．[来源:学科网ZXXK]三、中间值法当底数不同且幂指数也不同，不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与比较大小的两数分别比较，从而达到比较大小的目的．例４比较0.812与0.913的大小．解析：由于这两个数的底数不同，指数也不同，所以可利用中间值来间接比较它们的大小．注意到这两个数的特点，中间值应选0.913或0.812．∵12＞0，∴幂函数12yx在（０，＋∞）上是增函数．又0.8＜0.9，∴0.812＜0.912．又0＜0.9＜1，指数函数0.9xy在（0，＋∞）上是减函数，且12＞13，∴0.912＜0.913．综上可得0.812＜0.913．四、模型函数法若函数()yfx满足性质：()()()()()xfxfxyfxfyfyfy，等，则可以认为其模型函数为幂函数()afxx．对于此类抽象函数的大小比较问题，我们常通过寻找、发现基本原型函数来求解．[来源:学科网]例５已知函数()fx满足()()xfxfyfy，且f（8）=4，则22f_________33f（填“＞、=、＜”）．[来源:学科网ZXXK]解析：()fx的原型函数是()fxx（为常数），又f（8）=4，∴48，∴23．于是23()fxx，显然该函数是偶函数，且在区间（０，＋∞）上是增函数，在（－∞，０）上是用心爱心专心减函数，332332fff．用心爱心专心