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2010年第十五届华杯赛决赛试题A及答案与解析一、填空题（每小题10分，共80分）1.在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要173个乒乓球。解：11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=1732.有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配一个包装盒，共有19种不同价格。解：5x5-6=19（9、12、15、11、14、17重复）3.汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇。已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是425km。解：AC相遇时，BC间距离为（90+80）x13=1703此时B共行进了1703÷（80-60）=176小时，则AB相遇时A、B行进了176—13=52小时，所以总路程为（90+80）x52=425km4.将1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、1/7和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第5位。解：第5位。5.将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为223，这些“好数”的最大公约数是3。解：“好数”实际上是对于模9同余6的数,因此在1~2012中共有（2012-5）÷9=223个所有好数都是3的倍数，参照前2个好数6、15可得，最大公约数只能为3.6.右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为32。解：从3个方向数出各自的面积为5+6+5=16则6个面一共为16x2=327.数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，任意选出8张使它们的数字和事33，则最多有3张是卡片“3”。解：设8张全用3则3x8=24，不足33.33-24=9因此要用“4”或“5”来替换“3”显然尽可能多用“5”更划算所以每用一张5可使结果增加2所以9÷2=4??1所以用4张5和1张4替换掉5个3，还剩下3个3是最多的情况。8.若将算式的值化为小数，则小数点后第1个数字是4。解：原式的小数部分第一位是4。二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9.右图中有5个由4个1x1的小正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成右图中4x5的长方形吗？如果能请画出一种拼法；如果不能请简述理由。不可以。解：对长方形黑白间隔染色，共有10黑10白。那5个小正格硬纸板，“L”型会占2黑2白，“Z”型会占2黑2白，“田”型会占2黑2白，“1”型会占2黑2白，“土”型会占1黑3白或3黑1白，这样总共会占掉9黑11白或11黑9白，与10黑10白矛盾。所以不行。10.长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段长是多少？解：按红、蓝、黑线划分后的长度分别为原厂的1/8、1/12、1/18则格局容斥原理可得：[1/8,1/12]=1/4；[1/8,1/18]=1/2；[1/12,1/18]=1/6；[1/8,1/12,1/18]=1/2则可知共可分38-6-4-2+2=28段，最短一段：因为（1/8，1/12，1/18）=1/72它们的最大公约数为1/72所以最短的一段一定不小于1/72，不难组合出1/8第一段与1/18的第二段之间可截出1/8—2/18=1/8—1/9=1/72所以最短为L/72另：可设L长度为72，把分数转化为整数更简便11.足球队A，B，C，D进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分，若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？至多7分，至少得5分。解：总共塞了10场，10场中有些是平局，有些是胜负局，而平局时双方只能得到2分，胜负双方能得3分。所以要想使E得分最多或最少，也就是要让总分最多或最少。总分最多时，平局最少。A最少平1局，B最少平1局，C最少平1局，D最少平2局，由于一场平局被两支队伍算了两次，所以平局数的和必须是偶数，因此E最少平1局，所以E队最多得7分。总分最少时，平局最多。A最多平1局，B最多平4局，C最多平1局，D最多平2局，同理平局数的和必须是偶数，因此E最多平4局，但是这样的情况是不可能达到的，因为B和E与其他四队都平的话，A、C不可能只平1局。因此E最多平2局，所以E队最多得5分。12.华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。将这些数字排成一个整...